Đề thi chọn đội tuyển tham dự VMO 2014 THPT chuyên Khoa Học Tự Nhiên
Ngày thi thứ nhất: Thời gian làm bài 240'
Bài 1: Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn: $a_1=3, a_2=17, a_3=99$ và
$a_{n+1}=\frac{a_n^{2}+a_{n-1}^{2}-1}{a_{n-2}}$.
Chứng minh rằng $a_{2014}+1$ là số chính phương.
Bài 2: Cho tập hợp $S={1,2,3,...,2014}$. Tìm số cách chọn ra từ tập $S$ $m$ số chẵn và $n$ số lẻ sao cho trong các số vừa chọn, không có hai số hơn kém nhau $1$ đơn vị.
Bài 3: Cho tam giác $ABC$, tâm ngoại tiếp $O$.Phân giác trong góc $A$ cắt cạnh $BC$ tai điểm $D$. $P$ và $Q$ là $2$ điểm di chuyển trên đoạn $AD$ sao cho thỏa mãn: $\widehat{CBP}=\widehat{ABQ}$. Gọi $R$ là hình chiếu của $Q$ trên cạnh $BC$, $d$ là đường thẳng qua $R$ vuông góc với $OP$. Chứng minh rằng khi $P, Q$ di chuyển trên $AD$ thì các đường thẳng $d$ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4: Có tồn tại hay không một tập hữu hạn các điểm xanh và đỏ trong mặt phẳng sao cho với mọi đường tròn đơn vị có tâm là một điểm xanh đều có đúng $10$ điểm đỏ, và số điểm xanh nhiều hơn số điểm đỏ.
===============================================
Này thi thứ hai: Thời gian làm bài 240'
Bài 1:Tìm các số nguyên $m,n$ thỏa mãn điều kiện $2n^{2}+3|m^{2}-2$
Bài 2: Tìm tất cả các hàm số $f: R\rightarrow R$ thỏa mãn điều kiện sau:
$f(x+y)+f(x)f(y)=f(x)+f(y)+f(xy)+2xy$ với mọi số thực $x,y$
Bài 3: Cho lục giác $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M,L,K$ là tâm đường tròn Ơle các tam giác $CDE, EFA, ABC$. Gọi $X,Y,Z$ là hình chiếu của $M,L,K$ trên các đường thẳng $AD,CF,EB$. Chứng minh rằng trung trực các đoạn thẳng $AX,CY,EZ$ đồng quy.
Bài 4:Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2$.
Tìm giá trị lớn nhất của
$A=(|a-b|+\sqrt{6})(|b-c|+\sqrt{6})(|c-a|+\sqrt{6})$.
Hết
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthehoan: 20-10-2013 - 15:04