Chủ đề này có 2 trả lời

[Mrnhan]

Tính giới hạn của tổng sau:

 

Bài 1:

 

$$L=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=n}^{2n}\sin\frac{\pi}{k}$$

[thanhdotk14]

Tính giới hạn của tổng sau:

 

Bài 1:

 

$$L=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=n}^{2n}\sin\frac{\pi}{k}$$

Bài giải:

Dễ thấy:$$\sum_{k=n}^{2n} \sin \frac{\pi}{k}=\sum_{k=1}^n\sin \frac{\pi}{n+k}$$

Trước tiên ta chứng minh rằng:$$\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} =\ln 2$$

Dễ dàng chứng minh được:$$\ln (1+x)<x<-\ln (1-x), \forall 0<x<1$$

Từ đó suy ra:$\forall k=1,2,...,n$. Ta có:$$\ln \left(1+\frac{1}{n+k}\right)<\frac{1}{n+k}<-\ln \left(1-\frac{1}{n+k}\right)$$

$$\Leftrightarrow \ln (n+k+1)-\ln (n+k)<\frac{1}{n+k}<-\ln (n+k-1)+\ln (n+k)$$

Lần lượt thay $k=1,2,...,n$ và cộng vế theo vế các bất đẳng thức đó, ta được:$$\ln (2n+1)-\ln (n+1)<\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}<\ln 2n-\ln n$$

$$\Leftrightarrow \ln \left(\frac{2n+1}{n+1}\right)<\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} <\ln \frac{2n}{n}$$

Từ đó, theo nguyên lí kẹp, dễ dàng suy ra được:$$\lim_{n\to +\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}=\ln 2(1)$$

Mặt khác, ta cũng dễ dàng chứng minh được:$$x>\sin x>x-\frac{x^3}{6} ,\forall x>0$$

Từ đó, ta suy ra được:$$\sum_{k=1}^n \frac{\pi}{n+k}>\sum_{k=1}^n \sin \frac{\pi}{n+k}>\sum_{k=1}^n \frac{\pi}{n+k}-\frac{1}{6}\sum_{k=1}^n \frac{\pi^3}{(n+k)^3}(2)$$

Dễ thấy:$$\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{\pi^3}{(n+k)^3}=0(3)$$

Từ $(1),(2),(3)$ và theo nguyên lí kẹp ta suy ra được$$\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n \sin \frac{\pi}{n+k} =\pi \ln 2$$

Hay:$$L=\pi \ln 2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 21-10-2013 - 15:26

[Mrnhan]

 

Anh thấy em giải theo cách này có hợp lý không nha? Em mới nghĩ ra thôi!

 

Bài giải:

 

Ta có $\lim_{n\to \infty}\sin\frac{\pi}{i+n}=\lim_{n\to \infty}\frac{\pi}{i+n}$

 

Trở lại bài toán $\lim_{n+\to\infty}\sum_{k=n}^{2n}\sin\frac{\pi}{k}=\lim_{n+\to\infty}\sum_{i=0}^{n}\sin\frac{\pi}{i+n}=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n}\frac{\pi}{i+n}=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n}\left ( \frac{\pi}{1+\frac{i}{n}}\: \frac{1}{n} \right )$

 

Áp dụng tổng $Riemann$ hoặc công thức tính tích phân $\sum_{i=0}^{n}f\left ( \zeta _i \right )\Delta x_i=\int_{a}^{b}f(x)\: dx$ (điều kiện là $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$), ta có:

 

$\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n}\left ( \frac{\pi}{1+\frac{i}{n}}\: \frac{1}{n} \right )=\int_{0}^{1}\frac{\pi dx}{1+x}=\pi\: \ln 2$