Chủ đề này có 1 trả lời

[conan98md]

cho x,x>0 thoả mãn x+y+xy=3

 

tìm min A = $(x^{3}+1)(x^{3}+1)+\frac{xy}{x+y}$

[25 minutes]

cho x,x>0 thoả mãn x+y+xy=3

 

tìm min A = $(x^{3}+1)(x^{3}+1)+\frac{xy}{x+y}$

Dễ thấy $A=x^3y^3+x^3+y^3+1+\frac{xy}{x+y}=x^3y^3+(x+y)^3-3xy(x+y)+1+\frac{xy}{x+y}$

Đặt $t=x+y\Rightarrow xy=3-t$

       $\Rightarrow A=(3-t)^3+t^3-3t(3-t)+1+\frac{3-t}{t}$

       $\Rightarrow A=f(t)=12t^2-36t+27+\frac{3}{t}$

Từ giả thiết ta có $3=x+y+xy\leqslant x+y+\frac{(x+y)^2}{4}\Rightarrow t=x+y\geqslant 2$

Xét $f'(t)=24t-36-\frac{3}{t^2}>0$

      $\Rightarrow f(t) \geqslant f(2)=\frac{4}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$