Chủ đề này có 7 trả lời

[thanhdotk14]

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH ĐỊNH LỚP 12 THPT

___________________________________

 

 

Bài 1: Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix} \frac{2xy+y\sqrt{x^2-y^2}}{14} =\sqrt{\frac{x+y}{2}}+\sqrt{\frac{x-y}{2}}& & \\ \sqrt{\left ( \frac{x+y}{2} \right )^3}+\sqrt{\left ( \frac{x-y}{2} \right )^3}=9& & \end{matrix}\right.$$

Bài 2: Cho tập $M=\left\{1,2,3,...,2013,2014\right\}$

$a.$ Lấy ngẫu nhiên ra hai số trong tập $M$. Tính xác suất để mỗi số trong hai số đó chia hết cho ít nhất một trong các số $2,3,13$

$b.$ Có bao nhiêu cách chọn ra hai tập hợp con của $M$ (không kể thứ tự) mà giao của chúng có duy nhất một phần tử ?

Bài 3: Cho dãy $(U_n)$ xác định bởi:$-1<U_0<1,U_n=\sqrt{\frac{1+U_{n-1}}{2}}$

Với $n=1,2,...$

Hai dãy $(V_n)$ và $(W_n)$ được xác định như sau:$V_n=4^n(1-U_n)$ và $W_n=U_1U_2...U_n$

Tìm $\lim V_n$ và $\lim W_n$

Bài 4: 

$1.$ Cho tam giác $ABC$. Các đường phân giác $BD,CE$ của tam giác cắt nhau tại $I$.

Chứng minh rằng: Tam giác $ABC$ vuông khi và chỉ khi $S_{BCDE}=2S_{BIC}$

$2.$ Cho hình chóp $SABC$ trong đó $SA,SB,SC$ vuông góc với nhau từng đôi một. Trên các tia $SA,SB,SC$ lần lượt lấy các điểm $A',B',C'$ sao cho: $SA.SA'=SB.SB'=SC.SC'$. Vẽ $SH\perp (A'B'C')$ cắt $(ABC)$ tại $G$

$a.$ Chứng minh rằng $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

$b.$ Cho $SA=a,SB=b,SC=c$. Gọi $r$ là bán kình mặt cầu nội tiếp hình chóp $SABC$.

Chứng minh:$$r=\frac{S_{SAB}+S_{SBC}+S_{SCA}-S_{ABC}}{a+b+c}$$

Bài 5: Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm:$$\left\{\begin{matrix} \log_{x^2+y^2}(x-y)\geq 1 & & \\ x-2y=m & & \end{matrix}\right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 22-10-2013 - 11:28

[Ispectorgadget]

Câu cuối cách làm giống bài ở đây.

[Ispectorgadget]

 

Bài 4: 

$2.$ Cho hình chóp $SABC$ trong đó $SA,SB,SC$ vuông góc với nhau từng đôi một. Trên các tia $SA,SB,SC$ lần lượt lấy các điểm $A',B',C'$ sao cho: $SA.SA'=SB.SB'=SC.SC'$. Vẽ $SH\perp (A'B'C')$ cắt $(ABC)$ tại $G$

$a.$ Chứng minh rằng $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

$b.$ Cho $SA=a,SB=b,SC=c$. Gọi $r$ là bán kình mặt cầu nội tiếp hình chóp $SABC$.

Chứng minh:$$r=\frac{S_{SAB}+S_{SBC}+S_{SCA}-S_{ABC}}{a+b+c}$$

b) Gọi $S_{SAB}=S_1;S_{SBC}=S_2;S_{SCA}=S_3; S_{ABC}=S$.

 

Ta có $V_{SABC}=\frac{abc}{6}$.

 

Sử dụng kết quả quen thuộc $r=\frac{3V}{S_{tp}}$ (cm dễ dàng bằng cách cộng thể tích)

\begin{equation} \Rightarrow r=\frac{3V}{S_{tp}}=\frac{abc}{2(S_1+S_2+S_3)}
\end{equation}

 

Áp dụng định lý Pythagore mở rộng trong không gian ta có: $$S_1^2+S_2^2+S_3^2=S^2 (2)$$

Từ (1);(2) ta có: $$r=\frac{abc(S_1+S_2+S_3-S)}{2(S_1+S_2+S_3+S)(S_1+S_2+S_3-S)}=\frac{abc(S_1+S_2+S_3)}{4(S_1S_2+S_2S_3+S_1S_3)}\; (3)$$

Ta có $4(S_1S_2+S_2S_3+S_1S_3)=abc(a+b+c)$

$$\Rightarrow r=\frac{S_1+S_2+S_3-S}{a+b+c}\Rightarrow Q.E.D$$

[vuvanquya1nct]

 

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH ĐỊNH LỚP 12 THPT

___________________________________

 

 

Bài 1: Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix} \frac{2xy+y\sqrt{x^2-y^2}}{14} =\sqrt{\frac{x+y}{2}}+\sqrt{\frac{x-y}{2}}& & \\ \sqrt{\left ( \frac{x+y}{2} \right )^3}+\sqrt{\left ( \frac{x-y}{2} \right )^3}=9& & \end{matrix}\right.$$

 

Điều kiện x-y>=0

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{\frac{x+y}{2}} & \\ b=\sqrt{\frac{x-y}{2}} & \end{matrix}\right.$

ta có hệ $\left\{\begin{matrix} a^3+b^3=9 & \\ 2(a^2+b^2)(a^2-b^2)+(a^2-b^2).2ab=14(a+b) (*) & \end{matrix}\right.$

Nếu a+b=0 thì thay vào pt đầu:0=9 vô lý

Vậy a+b khác 0 chia hai vế của (*)cho (a+b) ta có

$(*)\Leftrightarrow (a^2+b^2)(a-b)+(a-b)ab=7\Leftrightarrow (a-b)(a^2+b^2+ab)=7\Leftrightarrow a^3-b^3=7$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^3+b^3=9 & \\ a^3-b^3=7 & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 & \\b=1 & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=5 & \\ y=3 & \end{matrix}\right.$

Vậy hpt đã cho có nghiệm duy nhất (x;y)=(5;3)

[thanhtuk33tp2]

 

Nếu a+b=0 thì thay vào pt đầu:0=9 vô lý

 

bạn nói mới vô lý, a +b= 0 thì x=y=0, pt có 2 nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhtuk33tp2: 28-03-2015 - 09:02

[thanhtuk33tp2]

bạn nói mới vô lý, a +b= 0 thì x=y=0, pt có 2 nghiệm

xin loi. minh nham

[Kofee]

Bài 2: Cho tập $M=\left\{1,2,3,...,2013,2014\right\}$

$a.$ Lấy ngẫu nhiên ra hai số trong tập $M$. Tính xác suất để mỗi số trong hai số đó chia hết cho ít nhất một trong các số $2,3,13$

$b.$ Có bao nhiêu cách chọn ra hai tập hợp con của $M$ (không kể thứ tự) mà giao của chúng có duy nhất một phần tử ?

a/ Ta có:

$\left | A_{2} \right |=\left [ \frac{2014}{2} \right ]=1007$

$\left | A_{3} \right |=\left [ \frac{2014}{3} \right ]=671$

$\left | A_{13} \right |=\left [ \frac{2014}{13} \right ]=154$

$\left | A_{2}\cap A_{3} \right |=\left [ \frac{2014}{6} \right ]=335$

$\left | A_{2}\cap A_{13} \right |=\left [ \frac{2014}{26} \right ]=77$

$\left | A_{3}\cap A_{13} \right |=\left [ \frac{2014}{39} \right ]=51$

$\left | A_{2}\cap A_{3}\cap A_{13} \right |=\left [ \frac{2014}{78} \right ]=25$

Theo nguyên lý PIE ta có:

$\left | A_{2} \cup A_{3}\cup A_{13}\right |=1007+671+154-\left ( 335+77+51 \right )+25=1394$

XS cần tìm:

$\frac{C_{1394}^{2}}{C_{2014}^{2}}=0,47897$

 

b/ Số tập con của tập có $2013$ ptử là $2^{2013}$

Do đó số cách chọn $2$ tập con mà giao của chúng có duy nhất $1$ phần tử là:

$2014.2^{2013}.2^{2013}=2014.2^{4026}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kofee: 16-04-2015 - 10:32

[chanhquocnghiem]

 

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH ĐỊNH LỚP 12 THPT

___________________________________

 

 

 

Bài 2: Cho tập $M=\left\{1,2,3,...,2013,2014\right\}$

$a.$ Lấy ngẫu nhiên ra hai số trong tập $M$. Tính xác suất để mỗi số trong hai số đó chia hết cho ít nhất một trong các số $2,3,13$

$b.$ Có bao nhiêu cách chọn ra hai tập hợp con của $M$ (không kể thứ tự) mà giao của chúng có duy nhất một phần tử ?

 

 

Bài 2 (phần b)

Trước hết ta tính số cách chọn ra 2 tập con của $M$ (có phân biệt thứ tự, tạm gọi là $A$ và $B$) mà giao của chúng có duy nhất 1 phần tử (gọi số cách đó là $P$) :

+ Chọn phần tử chung duy nhất của $A$ và $B$ : $2014$ cách

+ Mỗi phần tử (trong $2013$ phần tử còn lại) có $3$ lựa chọn : hoặc thuộc $A$, hoặc thuộc $B$, hoặc không thuộc cả $A$ lẫn $B$

   ---> $3^{2013}-1$ cách (trừ 1 là trừ TH cả $2013$ phần tử đó đều không thuộc $A$ và $B$)

  $\Rightarrow P=2014.(3^{2013}-1)$ cách.

Bây giờ ta tính số cách chọn ra 2 tập con của $M$ (không phân biệt thứ tự) mà giao của chúng có duy nhất 1 phần tử (gọi số cách đó là $Q$) :

Vì 2 tập con không phân biệt thứ tự nên số cách chọn là $Q=\frac{P}{2}=1007.(3^{2013}-1)$ cách.