Đến nội dung

Hình ảnh

cho xyz=1 $\frac{x}{x^2+2}+\frac{y}{y^2+2}+\frac{z}{z^2+2}\leq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Zimmi

Zimmi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết

cho xyz=1 $\frac{x}{x^2+2}+\frac{y}{y^2+2}+\frac{z}{z^2+2}\leq 1$



#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

cho xyz=1 $\frac{x}{x^2+2}+\frac{y}{y^2+2}+\frac{z}{z^2+2}\leq 1$

Áp dụng AM-GM ta có 

                     $\frac{x}{x^2+2}\leqslant \frac{x}{2x+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4x+2}$

$\Rightarrow \sum \frac{x}{x^2+1}\leqslant \frac{3}{2}-(\frac{1}{4x+2}+\frac{1}{4y+2}+\frac{1}{4z+2})$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{1}{4x+2}+\frac{1}{4y+2}+\frac{1}{4z+2}\geqslant \frac{1}{2}$

                        $\Leftrightarrow \frac{1}{2x+1}+\frac{1}{2y+1}+\frac{1}{2z+1}\geqslant 1$

Đặt $(x,y,z)=(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})\Rightarrow \frac{1}{2x+1}=\frac{1}{\frac{2a}{b}+1}=\frac{b}{2a+b}=\frac{b^2}{2ab+b^2}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{2x+1}=\sum \frac{b^2}{2ab+b^2}$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có ngay

                $\Rightarrow \sum \frac{1}{2x+1}=\sum \frac{b^2}{2ab+b^2}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{2ab+b^2+2bc+c^2+2ca+a^2}=1$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $\sum \frac{x}{x^2+2}\leq\sum  \frac{x}{2x+1}$

Ta cần chứng minh: $\sum \frac{x}{2x+1}\leq 1(*)$

$(*)\Leftrightarrow x+y+z+1\geq 4xyz$ (Đúng do xyz = 1)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh