Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR phương trình sau không có ngiệm nguyên dương $x^{4}-1=(2y+1)^{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 nam8298

nam8298

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh Phúc
  • Sở thích:đá bóng chơi cờ và làm toán

Đã gửi 24-10-2013 - 15:53

CMR phương trình sau không có ngiệm nguyên dương $x^{4}-1=(2y+1)^{3}$


Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân


#2 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 24-10-2013 - 18:14

CMR phương trình sau không có ngiệm nguyên dương $x^{4}-1=(2y+1)^{3}$

Đặt $a=x^2,b=2y+1$, ta được phương trình : 

$$a^{2}-b^{3}=1$$

Từ đây suy ra $$(b+1)(b^2-b+1)=a^2$$

Dễ chứng minh $gcd(b+1,b^2-b+1)=1$ nên $b+1,b^2-b+1$ đều chính phương.

Suy ra $A=(b+1)+(b^2-b+1)=b^2+2\equiv 3\;\;(mod\;4)$, chú ý $b$ lẻ.

Điều này là vô lí vì tổng của hai số chính phương thì chỉ có dạng $4k$ hoặc $4k+1$ hoặc $4k+2$.

Ta có điều phải chứng minh.

Nhận xét :

- Euler đã chứng minh được rằng phương trình Mordell $a^2-b^3=1$ chỉ có duy nhất nghiệm nguyên dương $(3,2)$, vô lí vì $b$ lẻ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 24-10-2013 - 18:20

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#3 nam8298

nam8298

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh Phúc
  • Sở thích:đá bóng chơi cờ và làm toán

Đã gửi 24-10-2013 - 19:12

bạn ơi gcd(b+1,$b^{2}-b+1$) = 3 đc mà


Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân


#4 minnam98

minnam98

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 25-10-2013 - 15:28

Cái này mình nghĩ là đúng , bạn tham khảo nha

Đặt $x^{2}= a$ và $2y+1=b$ (a,b>0, b chẵn) $\Rightarrow$ a chẵn. Ta có :

 

         $a^{2}-1=b^{3} \Leftrightarrow \left ( a-1 \right )\left ( a+1 \right )=b^{3}$

 

Do a chẵn nên $\left ( a-1,a+1 \right )= 1$ , do đó a-1 và a+1 phải là lập phương của một số nguyên

 suy ra x=0 , vô lý


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minnam98: 25-10-2013 - 15:32


#5 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 26-10-2013 - 17:57

bạn ơi gcd(b+1,$b^{2}-b+1$) = 3 đc mà

Ờ, mình nhầm, xin lỗi bạn. Bạn trên có vẻ giải đúng rồi.


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#6 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 04-11-2013 - 18:58

CMR phương trình sau không có ngiệm nguyên dương $x^{4}-1=(2y+1)^{3}$

Bài này có thể là n lẻ $n^{3}+1$ không là số chính phương

em có cách hơi dài

Đặt 2y+1=n GS pt có nghiêm dương đặt $x^{4}=a^{2}

Ta có $(n+1)(n^{2}-n+1)=a^{2}$ Gọi d=(n+1;$(n^{2}-n+1)$) dẽ cm d=1 hoặc d=3

d=1(QED)

d=3 đăt n+1=3k $n^{2}-n+1=3m$(k,m)=1$\rightarrow km=t^{2}$

do đó k,m là số cp

Đặt $m=x^{2}$ta có n=3k-1$\rightarrow m=3k^{2}-3k+1\rightarrow x^{2}=3k^{2}-3k+1$

lấy delta ta được $12x^{2}-3=y^{2}\rightarrow y^{2}\vdots 3\Rightarrow y^{2}=9z^{2}$

y=0 loại

y>0 đặt x=ty$\rightarrow x^{2}(4-3z^{2})=1$(loại)

VẬY ....


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh