Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho a, b, c>0 thỏa mãn điều kiện a+b+c=6.Chứng minh rằng:

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+abc\geq 8$

[Hoang Tung 126]

Theo bdt Schur ta có :$a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)= > abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(6-2a)(6-2b)(6-2c)=8(3-a)(3-b)(3-c)=8(27-9(a+b+c)+3(ab+bc+ac)-abc)=8(27-9.6+3(ab+bc+ac)-abc)=8(3(ab+bc+ac)-27-abc)= > 9abc\geq 24(ab+bc+ac)-8.27= > abc\geq \frac{8}{3}(ab+bc+ac)-24$

$= > A=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac+abc\geq a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac+\frac{8}{3}(ab+bc+ac)-24=a^2+b^2+c^2+\frac{5}{3}(ab+bc+ac)-24=\frac{5}{6}(a+b+c)^2+\frac{1}{6}(a^2+b^2+c^2)-24=\frac{5}{6}.6^2+\frac{a^2+b^2+c^2}{6}-24=\frac{a^2+b^2+c^2}{6}+6\geq \frac{\frac{(a+b+c)^2}{3}}{6}+6=\frac{6^2}{18}+6=2+6=8$

$= > A\geq 8(dpcm)$

Dấu = xảy ra khi a=b=c=2

[zzhanamjchjzz]

ban co nhầm không nếu là -abc thi ta rồi xem lại ik