Chủ đề này có 2 trả lời

[dhdhn]

Cho a, b, c dương thoả mãn $a+b+c=1$;CMR

 

$\left( {a + \frac{1}{b}} \right)\left( {b + \frac{1}{c}} \right)\left( {c + \frac{1}{a}} \right) \ge {\left( {\frac{{10}}{3}} \right)^3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 25-10-2013 - 20:59

[25 minutes]

 Cho a, b, c dương thoả mãn $a+b+c=1$;CMR

 

$\left( {a + \frac{1}{b}} \right)\left( {b + \frac{1}{c}} \right)\left( {c + \frac{1}{a}} \right) \ge {\left( {\frac{{10}}{3}} \right)^3}$

Xét $a+\frac{1}{b}=a+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9b}+...+\frac{1}{9b}\geqslant 10\sqrt[10]{\frac{a}{(9b)^9}}$

Tương tự $b+\frac{1}{c}=b+\frac{1}{9c}+\frac{1}{9c}+...+\frac{1}{9c}\geqslant 10\sqrt[10]{\frac{b}{(9c)^9}}$

                $c+\frac{1}{a}=c+\frac{1}{9a}+\frac{1}{9a}+...+\frac{1}{9a}\geqslant 10\sqrt[10]{\frac{c}{(9a)^9}}$

$\Rightarrow \prod (a+\frac{1}{b})\geqslant 10^3\sqrt[10]{\frac{abc}{(9a.9b.9c)^9}}=10^3\sqrt[10]{\frac{1}{9^{27}(abc)^8}}$

Sử dụng AM-GM ta có $abc\leqslant \frac{(a+b+c)^3}{27}=\frac{1}{27}$ ta có ngay đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[KietLW9]

$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\geq \frac{1000}{27}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học