Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$x^2y^4+2(x^2+1)y^2+4xy+x^2-4xy^3\geq 0$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 Creammy Mami

Creammy Mami

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lương Thế Vinh, Đồng Nai

Đã gửi 26-10-2013 - 19:48

1) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$x^2y^4+2(x^2+1)y^2+4xy+x^2-4xy^3\geq 0$$

2) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$19x^2+54y^2+16z^2-16xz-24yz+36xy\geq 0$$

3) Cho $a,b,c$là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng  $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(ax+by)(x+y)\geq cxy$

4) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(x+y)^2-xy+1\geq (x+y)\sqrt{3}$

5) Cho $t<z<y$, chứng minh rằng $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$(x+y+z+t)^2>8(xz+yt)$$

6) Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng: $pa^2+pb^2\geq pqc^2$, $p+q=1$

7) Cho $a^3>36$ và $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Creammy Mami: 26-10-2013 - 19:48


#2 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 26-10-2013 - 20:06



1) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$x^2y^4+2(x^2+1)y^2+4xy+x^2-4xy^3\geq 0$$

2) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$19x^2+54y^2+16z^2-16xz-24yz+36xy\geq 0$$

3) Cho $a,b,c$là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng  $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(ax+by)(x+y)\geq cxy$

4) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(x+y)^2-xy+1\geq (x+y)\sqrt{3}$

5) Cho $t<z<y$, chứng minh rằng $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$(x+y+z+t)^2>8(xz+yt)$$

6) Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng: $pa^2+pb^2\geq pqc^2$, $p+q=1$

7) Cho $a^3>36$ và $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca$

Làm thử câu 7  :wub:  :icon6:  :icon6:

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} a^3>36\\ abc=1 \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} a>\sqrt[3]{36}>1\\ abc \end{matrix}\right.$

Dễ dàng lý luận rằng $a,b,c$ không thể cùng lúc bằng nhau

Ta có từ điều trên áp dụng AM-GM: $a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$

Bây giờ ta cần chứng minh: $\frac{a^3}{3}+b^2+c^2>a^2+b^2+c^2$

Thật vậy ta có: $\leftrightarrow \frac{a^3}{3}>a^2$$\leftrightarrow a^3>3a^2$ (Chứng minh sau)

Ta có: $\left\{\begin{matrix} a^2=a^2\\ \sqrt[3]{36}>3 \end{matrix}\right.\rightarrow \sqrt[3]{36}a^2>3a^2\Leftrightarrow a^3>3a^2\rightarrow Q.E.D$

Vậy ta có điều phải chứng minh  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:

p/s: Tưởng bác Creammy Mami lớp 10 cùng Annie mà, sao post ở đây :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 26-10-2013 - 20:10


#3 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 26-10-2013 - 20:41

1) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$x^2y^4+2(x^2+1)y^2+4xy+x^2-4xy^3\geq 0$$

2) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$19x^2+54y^2+16z^2-16xz-24yz+36xy\geq 0$$

3) Cho $a,b,c$là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng  $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(ax+by)(x+y)\geq cxy$

4) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(x+y)^2-xy+1\geq (x+y)\sqrt{3}$

5) Cho $t<z<y$, chứng minh rằng $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$(x+y+z+t)^2>8(xz+yt)$$

6) Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng: $pa^2+pb^2\geq pqc^2$, $p+q=1$

7) Cho $a^3>36$ và $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca$

Mình chém trước bài 4 vậy:

                          Ta có:    $xy\leq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}$

                                         <=>$-xy\geq \frac{-\left ( x+y \right )^{2}}{4}$

                                         <=>$\left ( x+y \right )^{2}-xy+1\geq \frac{-\left ( x+y \right )^{2}}{4}+\left ( x+y \right )^{2}+1$

                                         <=>$\left ( x+y \right )^{2}-xy+1\geq \frac{3\left ( x+y \right )^{2}}{4}+1\geq 2\sqrt{\frac{3\left ( x+y \right )^{2}}{4}}=\sqrt{3}\left ( x+y \right )$       (đpcm)

                      dấu = xảy ra khi x=y=$\frac{1}{\sqrt{3}}$


:lol:Thuận :lol:

#4 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 26-10-2013 - 21:47

1) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$x^2y^4+2(x^2+1)y^2+4xy+x^2-4xy^3\geq 0$$

2) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$19x^2+54y^2+16z^2-16xz-24yz+36xy\geq 0$$

3) Cho $a,b,c$là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng  $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(ax+by)(x+y)\geq cxy$

4) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(x+y)^2-xy+1\geq (x+y)\sqrt{3}$

5) Cho $t<z<y$, chứng minh rằng $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$(x+y+z+t)^2>8(xz+yt)$$

6) Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng: $pa^2+pb^2\geq pqc^2$, $p+q=1$

7) Cho $a^3>36$ và $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca$

Làm cái câu 2, thấy dễ nhất đề

$P=9(x+2y)^{2}+2(3y-2z)^{2}+8(x-z)^{2}+2x^{2}$

P/s : Thấy thằng nghiemthanhbach nói nhờ giúp nên giúp luôn!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KTBullets: 26-10-2013 - 21:48


#5 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 26-10-2013 - 23:45

6) Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng: $pa^2+pb^2\geq pqc^2$, $p+q=1

theo mình đề phải là : $pa^2+qb^2\geq pqc^2$


:lol:Thuận :lol:

#6 Creammy Mami

Creammy Mami

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lương Thế Vinh, Đồng Nai

Đã gửi 27-10-2013 - 06:23

theo mình đề phải là : $pa^2+qb^2\geq pqc^2$

Ừ mình nhầm, đề như vậy đó



#7 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 27-10-2013 - 12:51

Ừ mình nhầm, đề như vậy đó

mình chém bài 6:

         ta có p+q=1            => p=1-q thế vào ta được :

            $\left ( 1-q \right )a^{2}+qb^{2}\geq \left ( 1-q \right )qc^{2}$

         <=>$q^{2}c^{2}+q\left ( b^{2}-a^{2}-c^{2} \right )+a^{2}\geq 0$

                               $\Delta =\left ( b^{2}-a^{2}-c^{2} \right )^{2}-4c^{2}a^{2}=\left ( b^{2}-\left ( a+c \right )^{2} \right )\left ( b^{2}-\left ( a-c \right )^{2} \right )$

                                             $=\left ( b+a+c \right )\left ( b-a-c \right )\left ( b+a-c \right )\left ( b-a+c \right )$

                         mà a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên áp dụng a+b>c và a-b<c ta có$\Delta < 0$  

                    áp dụng nếu $\Delta < 0$ thì a và $f\left ( x \right )$ cùng dấu với $f\left ( x \right )$ là tam thức bậc 2

            suy ra đpcm


:lol:Thuận :lol:

#8 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 27-10-2013 - 16:32

3) Cho $a,b,c$là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng  $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(ax+by)(x+y)\geq cxy$

 

Ta có: $(ax+by)(x+y)\geq cxy$ <=>$ax^{2}+axy +bxy+by^{2}-cxy\geq 0$

             <=> $ax^{2}+by^{2}+xy\left ( a+b-c \right )\geq 0$

             với y=o ta có bđt đúng

            với y khác 0 ,chia hai vế bđt cho y ,ta được:

            $a\left ( \frac{x}{y} \right )^{2}+\frac{x}{y}\left ( a+b-c \right )+b\geq 0$

                     $\Delta =\left ( a+b-c \right )^{2}-4ab$

           ta dễ cm $\Delta \leq 0$ (vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác)

        suy ra đpcm


:lol:Thuận :lol:

#9 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 27-10-2013 - 21:24

1) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$x^2y^4+2(x^2+1)y^2+4xy+x^2-4xy^3\geq 0$$

2) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$19x^2+54y^2+16z^2-16xz-24yz+36xy\geq 0$$

3) Cho $a,b,c$là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng  $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(ax+by)(x+y)\geq cxy$

4) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $(x+y)^2-xy+1\geq (x+y)\sqrt{3}$

5) Cho $t<z<y$, chứng minh rằng $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$(x+y+z+t)^2>8(xz+yt)$$

6) Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác

Chứng minh rằng: $pa^2+pb^2\geq pqc^2$, $p+q=1$

7) Cho $a^3>36$ và $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca$

Bài 5 thiếu x à, $t<z<y$ vậy x đâu rồi hở anh :))



#10 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 27-10-2013 - 21:27

Bài 5 thiếu x à, $t<z<y$ vậy x đâu rồi hở anh :))

$t<z<y<x$



#11 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 29-10-2013 - 21:03



Làm thử câu 7  :wub:  :icon6:  :icon6:

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} a^3>36\\ abc=1 \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} a>\sqrt[3]{36}>1\\ abc \end{matrix}\right.$

Dễ dàng lý luận rằng $a,b,c$ không thể cùng lúc bằng nhau

Ta có từ điều trên áp dụng AM-GM: $a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$

Bây giờ ta cần chứng minh: $\frac{a^3}{3}+b^2+c^2>a^2+b^2+c^2$

Thật vậy ta có: $\leftrightarrow \frac{a^3}{3}>a^2$$\leftrightarrow a^3>3a^2$ (Chứng minh sau)

Ta có: $\left\{\begin{matrix} a^2=a^2\\ \sqrt[3]{36}>3 \end{matrix}\right.\rightarrow \sqrt[3]{36}a^2>3a^2\Leftrightarrow a^3>3a^2\rightarrow Q.E.D$

Vậy ta có điều phải chứng minh  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:

p/s: Tưởng bác Creammy Mami lớp 10 cùng Annie mà, sao post ở đây :))

Bài này xem lại đi nhá chứng minh nhầm rùi đó

 



Ta có: $(ax+by)(x+y)\geq cxy$ <=>$ax^{2}+axy +bxy+by^{2}-cxy\geq 0$

             <=> $ax^{2}+by^{2}+xy\left ( a+b-c \right )\geq 0$

             với y=o ta có bđt đúng

            với y khác 0 ,chia hai vế bđt cho y ,ta được:

            $a\left ( \frac{x}{y} \right )^{2}+\frac{x}{y}\left ( a+b-c \right )+b\geq 0$

                     $\Delta =\left ( a+b-c \right )^{2}-4ab$

           ta dễ cm $\Delta \leq 0$ (vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác)

        suy ra đpcm

Bài này đoạn chứng minh $\Delta$ chưa hoàn toàn đúng đâu ~.~

 



1) Chứng minh rằng: $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$x^2y^4+2(x^2+1)y^2+4xy+x^2-4xy^3\geq 0$$

$\Leftrightarrow x^2(y^4+2y^2+1)+2x(2y+2y^3)+8y^2\geq 0$

Mà $\Delta'=-4(y^3+y)^2\leq 0\Rightarrow$ $\text{đpcm}$

 



5) Cho $t<z<y$, chứng minh rằng $\forall x,y \in \mathbb{R}$

$$(x+y+z+t)^2>8(xz+yt)$$

$\Leftrightarrow (x+y+z+t)^2-8(xz+yt)>0$

$VT=x^2+y^2+z^2+t^2+2xy+2zt+2xz+2xt+2yz+2yt-8xz-8yt=x^2+y^2+z^2+t^2+2xy+2zt+-6xz+2xt-6yt+2yz=z^2+2z(t-3x+y)+y^2-y(2x+6t)+x^2+2xt+t^2$

$\Delta z=8(z-y)(z-t)$

Mà $\left.\begin{matrix} z0 & \end{matrix}\right\}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta z<0 & \\ a>0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow f(x)>0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 29-10-2013 - 21:07


#12 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 29-10-2013 - 21:07

Bài này xem lại đi nhá chứng minh nhầm rùi đó

 

Bài này đoạn chứng minh $\Delta$ chưa hoàn toàn đúng đâu ~.~

 

$\Leftrightarrow x^2(y^4+2y^2+1)+2x(2y+2y^3)+8y^2\geq 0$

Mà $\Delta'=-4(y^3+y)^2\leq 0\Rightarrow$ $\text{đpcm}$

 

$\Leftrightarrow (x+y+z+t)^2-8(xz+yt)>0$

$VT=x^2+y^2+z^2+t^2+2xy+2zt+2xz+2xt+2yz+2yt-8xz-8yt=x^2+y^2+z^2+t^2+2xy+2zt+-6xz+2xt-6yt+2yz=z^2+2z(t-3x+y)+y^2-y(2x+6t)+x^2+2xt+t^2$

$\Delta z=8(z-y)(z-t)$

Mà $\left.\begin{matrix} z0 & \end{matrix}\right\}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta z<0 & \\ a>0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow f(x)>0$\rightarrow>

Hì hì bài đó không nhầm đâu Annie ơi

Làm lại nè:

Ta có bất đẳng thức AM-GM: $a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$

Ta có:

$\sqrt[3]{36}>3\rightarrow \frac{a^3}{3}>\frac{a^3}{\sqrt[3]{36}}=\frac{a^3}{\sqrt[3]{a^3}}=\frac{a^3}{a}=a^2$

Thay vào bất đẳng thức AM-GM ta có điểu phải chứng minh

Lý do dấu bằng không xảy ra là vì $a>\sqrt[3]{36}>1$ mà $abc=1$ chắc chắn không thể thoả $a=b=c=1$ được :))

Sai chỗ nào :))






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh