Đến nội dung

Hình ảnh

$S=\sum \frac{a^{2}b}{c^{3}(a+b)}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
cuongcute1234

cuongcute1234

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Tìm Min:

$S=\sum \frac{a^{2}b}{c^{3}(a+b)}$



#2
leduylinh1998

leduylinh1998

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 288 Bài viết

Mình làm thế này mong các bạn xem giùm.

Ta có:

  $\sum \frac{a^{2}b}{c^{3}(a+b)}=\sum \frac{\frac{a^{2}b}{c^{3}}}{a+b}\geq \frac{\left ( \sum \frac{a\sqrt{b}}{c\sqrt{c}} \right )^{2}}{2(a+b+c)}\geq \frac{(3.\sqrt[3]{1})^{2}}{6}=\frac{3}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1



#3
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Mình có cách này hay hơn :Đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}= > a+b+c=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$

Ta có :$S=\sum \frac{a^2b}{c^3(a+b)}=\sum \frac{z^3.\frac{1}{x^2y}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=\sum \frac{\frac{z^3}{x^2y}}{\frac{x+y}{xy}}= \sum \frac{z^3}{x(x+y)}$

Theo bdt AM-GM 3 số có :$\sum (\frac{z^3}{x(x+y)}+\frac{x}{2}+\frac{x+y}{4})\geq \sum (3\sqrt[3]{\frac{z^3.x(x+y)}{8x(x+y)}})=\sum (\frac{3z}{2})= > \sum \frac{z^3}{x(x+y)}\geq \frac{x+y+z}{2}$(1)

Do $3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}= > x+y+z\geq 3$(2)

Từ (1) và (2) $= > \sum \frac{z^3}{x(x+y)}\geq \frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3}{2}$

$= > S$ Min =$\frac{3}{2}< = > x=y=z=1< = > a=b=c=1$



#4
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

áp dụng bđt AM -GM ta có

$\sum \frac{a^{2}b}{c^{3}(a+b)}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(abc)^{3}}{(abc)^{3}(a+b)(b+c)(a+c)}}= 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

$(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{(2a+2b+2c)^{3}}{27}= 8$

suy ra

$\sum \frac{a^{2}b}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh