Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Tìm Min:
$S=\sum \frac{a^{2}b}{c^{3}(a+b)}$
Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Tìm Min:
$S=\sum \frac{a^{2}b}{c^{3}(a+b)}$
Mình làm thế này mong các bạn xem giùm.
Ta có:
$\sum \frac{a^{2}b}{c^{3}(a+b)}=\sum \frac{\frac{a^{2}b}{c^{3}}}{a+b}\geq \frac{\left ( \sum \frac{a\sqrt{b}}{c\sqrt{c}} \right )^{2}}{2(a+b+c)}\geq \frac{(3.\sqrt[3]{1})^{2}}{6}=\frac{3}{2}$
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Mình có cách này hay hơn :Đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}= > a+b+c=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$
Ta có :$S=\sum \frac{a^2b}{c^3(a+b)}=\sum \frac{z^3.\frac{1}{x^2y}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=\sum \frac{\frac{z^3}{x^2y}}{\frac{x+y}{xy}}= \sum \frac{z^3}{x(x+y)}$
Theo bdt AM-GM 3 số có :$\sum (\frac{z^3}{x(x+y)}+\frac{x}{2}+\frac{x+y}{4})\geq \sum (3\sqrt[3]{\frac{z^3.x(x+y)}{8x(x+y)}})=\sum (\frac{3z}{2})= > \sum \frac{z^3}{x(x+y)}\geq \frac{x+y+z}{2}$(1)
Do $3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}= > x+y+z\geq 3$(2)
Từ (1) và (2) $= > \sum \frac{z^3}{x(x+y)}\geq \frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3}{2}$
$= > S$ Min =$\frac{3}{2}< = > x=y=z=1< = > a=b=c=1$
áp dụng bđt AM -GM ta có
$\sum \frac{a^{2}b}{c^{3}(a+b)}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(abc)^{3}}{(abc)^{3}(a+b)(b+c)(a+c)}}= 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$
mà
$(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{(2a+2b+2c)^{3}}{27}= 8$
suy ra
$\sum \frac{a^{2}b}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$
dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh