Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CM: a)$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Zeaynzs

Zeaynzs

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Studying Math

Đã gửi 27-10-2013 - 09:22

Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh:

   a)$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$

   

   b)$\frac{a^{3}+b^{3}}{2ab}+\frac{b^{3}+c^{3}}{2bc}+\frac{c^{3}+a^{3}}{2ca}\geq a+b+c$

 

Tks trước



#2 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 27-10-2013 - 09:25

Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh:

   a)$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$

   

   b)$\frac{a^{3}+b^{3}}{2ab}+\frac{b^{3}+c^{3}}{2bc}+\frac{c^{3}+a^{3}}{2ca}\geq a+b+c$

 

Tks trước

Làm câu a nhé :))

Ta có áp dụng bất đẳng thức Schwarz:

$\sum \frac{a^3}{b}=\sum \frac{a^4}{ab}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca$

$\rightarrow Q.E.D$



#3 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 27-10-2013 - 09:26

Câu a: Theo bdt Cosi có :$\frac{a^3}{b}+ab\geq 2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}=2\sqrt{a^4}=2a^2,\frac{b^3}{c}+bc\geq 2b^2,\frac{c^3}{a}+ac\geq 2c^2$

Cộng theo vế $= > \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)\geq 2(ab+bc+ac)-(ab+bc+ac)=ab+bc+ac$(đpcm)

 

Câu b: Áp dụng bdt $x^3+y^3\geq xy(x+y)$

Ta có :$\sum \frac{a^3+b^3}{2ab}\geq \sum \frac{ab(a+b)}{2ab}=\sum \frac{a+b}{2}=a+b+c$(đpcm)



#4 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 27-10-2013 - 09:27

Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh:

   a)$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$

   

   b)$\frac{a^{3}+b^{3}}{2ab}+\frac{b^{3}+c^{3}}{2bc}+\frac{c^{3}+a^{3}}{2ca}\geq a+b+c$

 

Tks trước

Hì hì câu b luôn :))

dễ dàng chứng minh bất đẳng thức phụ sau: $a^3+b^3\geq ab(a+b)$

Áp dụng bđt mới chứng minh ta có:

$\sum \frac{a^3+b^3}{2ab}\geq \sum \frac{ab(a+b)}{2ab}=\sum \frac{a+b}{2}=a+b+c\rightarrow Q.E.D$



#5 lovemath99

lovemath99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Toán}$
  • Sở thích:$\textrm{Đọc sách, khoa học viễn tưởng,...}$

Đã gửi 27-10-2013 - 11:26

Hì hì câu b luôn :))

dễ dàng chứng minh bất đẳng thức phụ sau: $a^3+b^3\geq ab(a+b)$

Áp dụng bđt mới chứng minh ta có:

$\sum \frac{a^3+b^3}{2ab}\geq \sum \frac{ab(a+b)}{2ab}=\sum \frac{a+b}{2}=a+b+c\rightarrow Q.E.D$

Cách khác.

Theo Cauchy-Schwarz thì:

$\sum \dfrac{a^3+b^3}{2ab}=\dfrac{a^2}{2b}+\dfrac{b^2}{2a}+\dfrac{b^2}{2c}+\dfrac{c^2}{2b}+\dfrac{c^2}{2a}+\dfrac{a^2}{2c} \ge \dfrac{(2\sum a)^2}{4\sum a}=\sum a.$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh