Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CM: $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Zeaynzs

Zeaynzs

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Studying Math

Đã gửi 27-10-2013 - 10:04

a)Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh: $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3}$

 

b)Cho $a+b\geq 2$. Chứng minh: $a^{3}+b^{3}\geq a^{2}+b^{2}$

 

Tks mọi người



#2 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 27-10-2013 - 10:12

a)Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh: $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3}$

 

b)Cho $a+b\geq 2$. Chứng minh: $a^{3}+b^{3}\geq a^{2}+b^{2}$

 

Tks mọi người

câu c cứ biến đổi tương đương là được

$a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)\geq 2a^2+2b^2-2ab$

Giả sử bất đẳng thức đúng ta có:

$a^3+b^3\geq a^2+b^2\rightarrow 2a^2+2b^2-2ab\geq a^2+b^2\rightarrow (a-b)^2\geq 0(lđ)$

$\rightarrow Q.E.D$



#3 leduylinh1998

leduylinh1998

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 288 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:Toán học, chơi yo yo

Đã gửi 27-10-2013 - 10:18

a)Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh: $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3}$

 

b)Cho $a+b\geq 2$. Chứng minh: $a^{3}+b^{3}\geq a^{2}+b^{2}$

 

Tks mọi người

Câu b:

Áp dụng BĐT Trê bư sép, ta có:$\frac{1}{2}(a^{3}+b^{3})\geq \frac{1}{4}(a^{2}+b^{2})(a+b)\geq \frac{1}{4}(a+b).2=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})(đpcm)$



#4 leduylinh1998

leduylinh1998

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 288 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:Toán học, chơi yo yo

Đã gửi 27-10-2013 - 10:41

Mình làm câu b luôn mong các bạn xem giùm.

Ta có: $8.\sum a^{3}=4.\sum( a^{3}+b^{3})$

Ta cần chứng minh $4.\sum( a^{3}+b^{3})\geq \sum (a+b)^{3}$

Thật vậy, ta có:

$4( a^{3}+b^{3})\geq  (a+b)^{3}$

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)-4a^{3}-4b^{3}\leq 0$

$\Leftrightarrow -3\left ( a^{3}+b^{3}-ab(a+b) \right )\leq 0$

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}-ab(a+b) \geq 0$

$\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^{2}\geq 0$ (đúng)

chứng minh tương tự, rồi cộng các BĐT vế theo vế ta được điều phải chứng minh



#5 SPhuThuyS

SPhuThuyS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:thích bóng đá và chơi game bóng đá

Đã gửi 27-10-2013 - 10:57

a)Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh: $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3}$

 

b)Cho $a+b\geq 2$. Chứng minh: $a^{3}+b^{3}\geq a^{2}+b^{2}$

 

Tks mọi người

$a)(a-b)^{2}(a+b)\geqslant 0\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}\geqslant ab(a+b)\Leftrightarrow 4(a^{3}+b^{3})\geqslant 3ab(a+b)+(a^{3}+b^{3})=(a+b)^{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SPhuThuyS: 27-10-2013 - 10:58

 

 


#6 letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\sqrt{MF}$
  • Sở thích:$Maths$

Đã gửi 27-10-2013 - 12:02

a)Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh: $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3}$

Cách khác cho câu a :

$BDT\Leftrightarrow 8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 2(a^{3}+b^{3}+c^{3})+3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ac(a+c)\Leftrightarrow 2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$

Mà ta lại có :

$2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$

BĐT cuối luôn đúng theo BĐT Schur nên ta có $Q.E.D$


        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh