a)Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh: $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3}$
b)Cho $a+b\geq 2$. Chứng minh: $a^{3}+b^{3}\geq a^{2}+b^{2}$
Tks mọi người
a)Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh: $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3}$
b)Cho $a+b\geq 2$. Chứng minh: $a^{3}+b^{3}\geq a^{2}+b^{2}$
Tks mọi người
a)Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh: $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3}$
b)Cho $a+b\geq 2$. Chứng minh: $a^{3}+b^{3}\geq a^{2}+b^{2}$
Tks mọi người
câu c cứ biến đổi tương đương là được
$a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)\geq 2a^2+2b^2-2ab$
Giả sử bất đẳng thức đúng ta có:
$a^3+b^3\geq a^2+b^2\rightarrow 2a^2+2b^2-2ab\geq a^2+b^2\rightarrow (a-b)^2\geq 0(lđ)$
$\rightarrow Q.E.D$
a)Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh: $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3}$
b)Cho $a+b\geq 2$. Chứng minh: $a^{3}+b^{3}\geq a^{2}+b^{2}$
Tks mọi người
Câu b:
Áp dụng BĐT Trê bư sép, ta có:$\frac{1}{2}(a^{3}+b^{3})\geq \frac{1}{4}(a^{2}+b^{2})(a+b)\geq \frac{1}{4}(a+b).2=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})(đpcm)$
Mình làm câu b luôn mong các bạn xem giùm.
Ta có: $8.\sum a^{3}=4.\sum( a^{3}+b^{3})$
Ta cần chứng minh $4.\sum( a^{3}+b^{3})\geq \sum (a+b)^{3}$
Thật vậy, ta có:
$4( a^{3}+b^{3})\geq (a+b)^{3}$
$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)-4a^{3}-4b^{3}\leq 0$
$\Leftrightarrow -3\left ( a^{3}+b^{3}-ab(a+b) \right )\leq 0$
$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}-ab(a+b) \geq 0$
$\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^{2}\geq 0$ (đúng)
chứng minh tương tự, rồi cộng các BĐT vế theo vế ta được điều phải chứng minh
a)Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh: $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3}$
b)Cho $a+b\geq 2$. Chứng minh: $a^{3}+b^{3}\geq a^{2}+b^{2}$
Tks mọi người
$a)(a-b)^{2}(a+b)\geqslant 0\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}\geqslant ab(a+b)\Leftrightarrow 4(a^{3}+b^{3})\geqslant 3ab(a+b)+(a^{3}+b^{3})=(a+b)^{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SPhuThuyS: 27-10-2013 - 10:58
a)Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh: $8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3}$
Cách khác cho câu a :
$BDT\Leftrightarrow 8(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 2(a^{3}+b^{3}+c^{3})+3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ac(a+c)\Leftrightarrow 2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$
Mà ta lại có :
$2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$
BĐT cuối luôn đúng theo BĐT Schur nên ta có $Q.E.D$
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh