Chứng minh định lý $Riesz$ , cho phiến hàm $F(v)$ trong không gian $Hilbert V$ . Giả sử rằng $F$ là phiến hàm tuyến tính . Thì tồn tại duy nhất một phần tử ở $V$ làm cho $F$ ở dạng tích vô hướng với mọi $v$
Áp dụng định lý trên hãy chứng minh
Xét bài toán yếu , với $a(u,v)$ là một song tuyến ở $V$ là $L(v)$ là một phiến hàm tuyến tính ở đó . Tìm mọi $u$ thỏa mãn $a(u,v)=L(v)$ với mọi $v$ ở $V$ .
Chứng minh rằng nếu $a(u,v)=a(v,u)$ ( đối xứng ) , liên tục ở $V-elliptic$ và phiến hàm cũng liên tục trên $V$ thì bài toán có nghiệm và là nghiệm duy nhất
