Đến nội dung

Hình ảnh

ĐỀ THI HSG CÀ MAU NĂM 2013-2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 27 trả lời

#1
bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                      KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

                 CÀ MAU                                                                   Năm học 2013-2014

                                                      Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

                                                      Ngày thi: ngày 27 tháng 10 năm 2013.

Câu 1: 

1) Giải phương trình: $\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{x+1}=1+\sqrt{1-x}$

2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} sin^{y}x+cos^{y}x-cos^{2}x+sin^{2}x=0\\ A_{y}^{2}-C_{y}^{2}-y-2=0 \\y\leq 5 \end{matrix}\right.$

(Trong đó $A_{n}^{k},C_{n}^{k}$ lần lượt là các chỉnh hợp chập k, số tổ hợp chập k của n phần tử).

Câu 2: Trên mặt phẳng có hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: $d_{1}:x-2y+2=0, d_{2}:x-y+\frac{\sqrt{6}}{3}=0$

và tam giác ABC đều có diện tích bằng $\sqrt{3}$, có trực tâm I nằm trên $d_{1}$. Điểm I có hoành độ dương. Đường thẳng $d_{2}$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng $d_{1}$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu 3: Cho hàm số: $f(x)=\frac{x^{2}-kx+1}{x^{2}+kx+1},0<k<2$ , k là tham số thực. Gỉa sử f(x) có giá trị lớn nhất là M, giá trị nhỏ nhất là m. Tìm k sao cho $M+m=\frac{10}{3}$.

Câu 4: 

1) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng C'D bằng a. Tính theo a thể tích của khối lập phương ABCD.A'B'C'D' và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A'BD.

2) Gỉa sử mỗi điểm của không gian được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng tỏ rằng luôn tìm được một tam giác có ba đỉnh cùng màu, sao cho độ dài ba cạnh của tam giác đó lần lượt là $1,\sqrt{2},\sqrt{3}$.

Câu 5:

Cho x > 2 và $xyz=\frac{2}{3}$. Chứng minh rằng: 

$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}+z^{2}>xy+yz+zx$.

                                                                   --------------------- HẾT ---------------------

P/s: Đề này không khó, nhưng phải kĩ, có được câu 4.2 và câu 5 là khó nhất đề này :icon6:  :icon6:  :icon6: !!! 


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#2
letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                      KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

                 CÀ MAU                                                                   Năm học 2013-2014

                                                      Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

                                                      Ngày thi: ngày 27 tháng 10 năm 2013.

Câu 1:

1) Giải phương trình: $\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{x+1}=1+\sqrt{1-x}$

ĐKXĐ : $-1\leq x\leq 1$

$PT\Leftrightarrow \sqrt{1-x^{2}}-1+\sqrt{x+1}-1=\sqrt{1-x}-1\Rightarrow \frac{-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}+1}+\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{-x}{\sqrt{1-x}+1}\Rightarrow x(\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}+\frac{1}{\sqrt{1-x}+1}-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}+1})=0\Rightarrow x=0$


        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#3
letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết

 

Câu 5:

Cho x > 2 và $xyz=\frac{2}{3}$. Chứng minh rằng: 

$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}+z^{2}>xy+yz+zx$.

 

Câu 5 :

Ta có :

$x> 2\Rightarrow x^{3}> 8$

$VT-VP=\frac{x^{2}}{4}+y^{2}+z^{2}-xy-xz+2yz+\frac{x^{2}}{4}-3yz=(\frac{x}{2}-y-z)^{2}+\frac{x^{3}-12xyz}{4x}=(\frac{x}{2}-y-z)^{2}+\frac{x^{3}-8}{4x}> 0$

Vậy : $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}+z^{2}> xy+yz+zx$ $(Q.E.D)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 27-10-2013 - 13:12

        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#4
bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

ĐKXĐ : $-1\leq x\leq 1$

$PT\Leftrightarrow \sqrt{1-x^{2}}-1+\sqrt{x+1}-1=\sqrt{1-x}-1\Rightarrow \frac{-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}+1}+\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{-x}{\sqrt{1-x}+1}\Rightarrow x(\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}+\frac{1}{\sqrt{1-x}+1}-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}+1})=0\Rightarrow x=0$

Cách đơn giản hơn nà bạn: PT tương đương với $\sqrt{x+1}(\sqrt{1-x}+1)=1+\sqrt{1-x}\Leftrightarrow (\sqrt{1-x}+1)(\sqrt{x+1}-1)=0$


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#5
nntien

nntien

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 372 Bài viết

Bài 2:

Hệ phương trình theo thứ tự từ trên xuống ta đặt là ptrình (1), (2) (3)

Từ (2) và (3) ta thử vào chỉ có y=4 là thỏa (2)

Nên khi đó (1) sẽ là:

$sin^4x+cos^4x=cos^2x-sin^2x$. Chú ý $cos^2x-sin^2x=cos(2x)$ và thực hiện biến đổi ta được:

$2cos^2(2x)+sin^2(2x)=2cos(2x)$.

<=> $cos^22x-2cos2x+1=0$ <=>$cos2x=1$ <=>$x=k\pi$.

Vậy hệ đã cho có nghiệm $(k\pi,4)$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 27-10-2013 - 13:32

$Maths$$Smart Home$ and $Penjing$

123 Phạm Thị Ngư


#6
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Bài 2:

Hệ phương trình theo thứ tự từ trên xuống ta đặt là ptrình (1), (2) (3)

Từ (2) và (3) ta thử vào chỉ có y=4 là thỏa (2)

Nên khi đó (1) sẽ là:

$sin^4x+cos^4x=cos^2x-sin^2x$. Chú ý $cos^2x-sin^2x=cos(2x)$ và thực hiện biến đổi ta được:

$2cos^2(2x)+sin^2(2x)=2cos(2x)$.

<=> $cos^22x-2cos2x+1=0$ <=>$cos2x=1$ <=>$x=k\pi$.

Vậy hệ đã cho có nghiệm $(k\pi,4)$. 

 

Hầu như ai cũng nhầm chổ này, đây là họ nghiệm .


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#7
nntien

nntien

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 372 Bài viết

Câu 4.2 Xem lại đi bachhammer  vì nếu không ràng buộc cho bao nhiêu điểm và các điểm như thế nào thì giả sử tìm được 3 điểm thoả mãn bài toán thì hệ các điểm nở ra với hệ số k>0 lớn tùy ý thì 3 điểm vừa tìm có còn thỏa tính chất đó nữa không?


$Maths$$Smart Home$ and $Penjing$

123 Phạm Thị Ngư


#8
nntien

nntien

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 372 Bài viết

Hầu như ai cũng nhầm chổ này, đây là họ nghiệm .

 

Viết như vậy là họ nghiệm rồi còn gì! có k thuộc Z mà!


$Maths$$Smart Home$ and $Penjing$

123 Phạm Thị Ngư


#9
Beethoven97

Beethoven97

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đổi $x=\frac{2}{3yz},yz<\frac{1}{3}$ và đặt $y+z=S,yz=P,(P<\frac{1}{3})$ thì bất đẳng thức tương đương với: $9P^{2}S^{2}-6PS-27P^{3}+2>0$. Cái này có đenta nhỏ hơn 0 (vì P< 1/3), mà a>0 (a là hệ số trong biệt thức) nên bất đẳng thức cần chứng minh là đúng....



#10
bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

Câu 4.2 Xem lại đi bachhammer  vì nếu không ràng buộc cho bao nhiêu điểm và các điểm như thế nào thì giả sử tìm được 3 điểm thoả mãn bài toán thì hệ các điểm nở ra với hệ số k>0 lớn tùy ý thì 3 điểm vừa tìm có còn thỏa tính chất đó nữa không?

Trong vô số các điểm trong không gian, ta muốn đánh màu gì cũng được, điểm nào cũng được. Với mọi cách đánh, ta luôn tìm được một tam giác thoả điều trên (không cứ nhất thiết phải theo ý người đánh, mà bất kì cách nào cũng như vậy)..... Dịch vậy chắc sát đề rồi (sáng nay ngồi hại não 1 giờ đồng hồ với câu này lun)  :icon6:  :icon6:  :icon6: .........


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#11
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Câu 4.2 Xem lại đi bachhammer vì nếu không ràng buộc cho bao nhiêu điểm và các điểm như thế nào thì giả sử tìm được 3 điểm thoả mãn bài toán thì hệ các điểm nở ra với hệ số k>0 lớn tùy ý thì 3 điểm vừa tìm có còn thỏa tính chất đó nữa không?



Đề nói là tô màu bất kì nên đâu có biết được là điểm đó sẽ được tô màu gì.

Viết như vậy là họ nghiệm rồi còn gì! có k thuộc Z mà!


Viết là họ nghiệm nhưng là kết luận là nghiệm. Cái này chắc không bị trừ điểm nhưng đọc thấy kì kì thôi.

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#12
bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

Viết là họ nghiệm nhưng là kết luận là nghiệm. Cái này chắc không bị trừ điểm nhưng đọc thấy kì kì thôi.

E chỉ ghi là pt có vô số nghiệm dạng ($k\pi$;4) (trong đó $k\in\mathbb{Z}$)....


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#13
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

E chỉ ghi là pt có vô số nghiệm dạng ($k\pi$;4) (trong đó $k\in\mathbb{Z}$)....

 

Nghe thầy Nguyễn nói trong toán cao cấp thì $k$ không vô số, còn toán của mình anh chả biết.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#14
bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

Nghe thầy Nguyễn nói trong toán cao cấp thì $k$ không vô số, còn toán của mình anh chả biết.

Uhm......Thôi lỡ rồi, dùng từ kiểu nào thì cũng thi xong rồi!!!


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#15
nntien

nntien

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 372 Bài viết

Trong vô số các điểm trong không gian, ta muốn đánh màu gì cũng được, điểm nào cũng được. Với mọi cách đánh, ta luôn tìm được một tam giác thoả điều trên (không cứ nhất thiết phải theo ý người đánh, mà bất kì cách nào cũng như vậy)..... Dịch vậy chắc sát đề rồi (sáng nay ngồi hại não 1 giờ đồng hồ với câu này lun)  :icon6:  :icon6:  :icon6: .........

Nói chung có nhiều cách vô số điểm: nếu các điểm lấy và đánh thứ tự theo số tự nhiên (hay số nguyên) thì cũng gọi là vô số. Rồi các điểm dày đặc trên trục số thực cũng gọi là vô số. Người ta chứng minh được rằng các điểm trên trục số lớn hơn các điểm số tự nhiên rất rất nhiều! Nói chung đề không cho rõ hệ điểm như thế nào, thì khó mà giải được.

Nếu vô số các điểm (mà đếm được!) thì chắc chắn tồn tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất (nghĩa là không có cặp điểm nào khác có khoảng cách nhỏ hơn) khi đó ta chỉ cần nở hệ điểm này theo hệ số k>0 lớn tùy ý sao cho khoảng cách này $> \sqrt{3}$ thì không tồn tại tam giác theo yêu cầu.

Nếu vô số các điểm (mà không đếm được - rồi lại không tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏ nhất!) thì hiển nhiên ta tìm được tam giác như vậy! 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 27-10-2013 - 15:08

$Maths$$Smart Home$ and $Penjing$

123 Phạm Thị Ngư


#16
bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

Nói chung có nhiều cách vô số điểm: nếu các điểm lấy và đánh thứ tự theo số tự nhiên (hay số nguyên) thì cũng gọi là vô số. Rồi các điểm dày đặc trên trục số thực cũng gọi là vô số. Người ta chứng minh được rằng các điểm trên trục số lớn hơn các điểm số tự nhiên rất rất nhiều! Nói chung đề không cho rõ hệ điểm như thế nào, thì khó mà giải được.

Không, chứng minh rằng với mọi trương hợp đánh như vậy..., ta luôn chọn được ba đỉnh cùng màu nhưng có thể hiện rõ là ba cạnh bằng bao nhiu đó!!! Tuy nhiên vẫn có th đánh mà cố tình ko tạo ra cùng màu, nhưng rồi cuối cùng lại cùng màu>>>>>>


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#17
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Nói chung có nhiều cách vô số điểm: nếu các điểm lấy và đánh thứ tự theo số tự nhiên (hay số nguyên) thì cũng gọi là vô số. Rồi các điểm dày đặc trên trục số thực cũng gọi là vô số. Người ta chứng minh được rằng các điểm trên trục số lớn hơn các điểm số tự nhiên rất rất nhiều! Nói chung đề không cho rõ hệ điểm như thế nào, thì khó mà giải được.

Nếu vô số các điểm (mà đếm được!) thì chắc chắn tồn tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất (nghĩa là không có cặp điểm nào khác có khoảng cách nhỏ hơn) khi đó ta chỉ cần nở hệ điểm này theo hệ số k>0 lớn tùy ý sao cho khoảng cách này $> \sqrt{3}$ thì không tồn tại tam giác theo yêu cầu.

Nếu vô số các điểm (mà không đếm được - rồi lại không tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏ nhất!) thì hiển nhiên ta tìm được tam giác như vậy! 

 

Ý của đề là chọn xong các điểm mới tô màu, chứ không phải to màu xong mới chọn điểm. Bạn nên hiểu đề theo ý đó, đề chính xác 100%.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#18
nntien

nntien

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 372 Bài viết


Ý của đề là chọn xong các điểm mới tô màu, chứ không phải to màu xong mới chọn điểm. Bạn nên hiểu đề theo ý đó, đề chính xác 100%.

Nếu chọn xong các điểm mà khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 điểm > $\sqrt{3}$ thì cho dù có tô bằng một màu đi nữa cũng không tìm ra 3 điểm thoả yêu cầu bài toán!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 28-10-2013 - 11:47

$Maths$$Smart Home$ and $Penjing$

123 Phạm Thị Ngư


#19
Tran Hoai Nghia

Tran Hoai Nghia

    UNEXPECTED PLEASURE.

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Theo đề bài, ta có 2 trường hợp:

-Trường hợp 1:$x> 2;y,z< 0$

$\frac{x^{2}}{2}-xy-xz+y^{2}+z^{2}-yz> 0$.Bất đẳng thức này luôn đúng vì:

$\left\{\begin{matrix} y^{2}+z^{2}-yz> 0(y^{2}+z^{2}-yz=(y-\frac{1}{2}z)^{2}+\frac{3}{4}z^{2}) & \\ \frac{x^{2}}{2}-xz-xy> 0(x> 2;y,z< 0) & \end{matrix}\right.$

Trường hợp 2:$x> 2;y,z> 0$(trường hợp này mình không giải ra!) :lol:

Câu 3 $k=1$ áp dụng điều kiện có nghiệm của tam thức bậc 2(phải chứng minh mẫu số khác 0, trong trường hợp này thì mẫu số dương)đề tìm m,M, sau đó giải phương trình đề cho.

Câu 4:$V=a^{3}\frac{4}{3\sqrt{6}},d=\frac{2a}{3\sqrt{2}}$

Câu 1 thì $x=0$(ý 1),$x=k\pi ,y=4$(ý 2).

Câu 2:Cách giải: tìm tâm r, tìm I và R, sau đó viết pt đường tròn ngoại tiếp nhận I là tâm và có bán kính R, rồi giải hệ phương trình dao điểm.Đáp số:

$M(2+\frac{2\sqrt{\frac{20}{3}}}{5};2+\frac{\sqrt{\frac{20}{3}}}{5}),N(2-\frac{2\sqrt{\frac{20}{3}}}{5};2-\frac{\sqrt{\frac{20}{3}}}{5})$ với M,N là giao điểm của d1 và (C).

Bạn nào biết giải dầy đủ bđt và hình tổ hợp chỉ mình với.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 27-10-2013 - 20:37

SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 
https://www.facebook...toanchuyenkhao/


#20
thedragonknight

thedragonknight

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết

Mình chém câu 3 thế này ko biết có đúng ko :D

Ta có:

$f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1;-1$

$f(1)=\frac{2-k}{2+k}$

$f(-1)=\frac{2+k}{2-k}$

$limf(x)=1$

Mặt khác:

$\frac{2-k}{2+k}\leq 1\leq\frac{2+k}{2-k}$ (do $0<k<2$)

Do đó:

$M= \frac{2+k}{2-k}; m=\frac{2-k}{2+k}$

Thay vô giải đc $k=1$

P/s: Đề Cà Mau cũng khá là hay nhỉ. Chả bù với tỉnh mình  :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thedragonknight: 27-10-2013 - 21:33





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh