Chủ đề này có 4 trả lời

[Hoang Tung 126]

Cho a,b,c là các số thực không âm .CMR: 

         $A=\frac{a^2}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^2}{c^2-ac+c^2}+\frac{c^2}{a^2-ab+b^2}\geq 2$

[nguyenqn1998]

cho hỏi dấu'=' khi nào vậy bạn 

[kfcchicken98]

Cho a,b,c là các số thực không âm .CMR: 

         $A=\frac{a^2}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^2}{c^2-ac+c^2}+\frac{c^2}{a^2-ab+b^2}\geq 2$

chắc đề bài đúng là $\frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}-ac^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}\geq 3$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 29-10-2013 - 01:09

[Hoang Tung 126]

Mình thấy đề bài đúng mà: 

Theo bất đẳng thức Cauchy -Swtach ta có :

  A=$\sum \frac{a^2}{b^2-bc+c^2}=\sum \frac{a^4}{a^2b^2-a^2bc+a^2c^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2\sum a^2b^2-abc(\sum a)}$

Ta cần CM $A\geq 2< = > (a^2+b^2+c^2)^2\geq 2(2\sum a^2b^2-abc(\sum a))< = > \sum a^4+2abc(\sum a)\geq 2\sum a^2b^2$

Theo bđt Schur bậc 4 ta có :$\sum a^4+abc(\sum a)\geq \sum ab(a^2+b^2)\geq \sum ab.2ab=\sum 2a^2b^2$(1)

Mà $a,b,c\geq 0= > abc(\sum a)\geq 0$(2)

Cộng theo vế (1) và (2) $= > \sum a^4+2abc(\sum a)\geq 2\sum a^2b^2$(luôn đúng)

$= > A\geq 2$.

Dấu = xảy ra khi $a=0,b=c$ và các hoán vị 

[nam8298]

a=0; b=c thay vào

 

Cho a,b,c là các số thực không âm .CMR: 

         $A=\frac{a^2}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^2}{c^2-ac+c^2}+\frac{c^2}{a^2-ab+b^2}\geq 2$

 làm gì đúng