Chủ đề này có 1 trả lời

[Tran Hoai Nghia]

Cho a,b,c dương, chứng minh rằng:

$(1+a^{3})(1+b^{3})(1+c^{3})\geqslant (1+ab^{2})(1+bc^{2})(1+ca^{2})$

Và tiện thể: bất đẳng thức sau có tồn tại không:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geqslant ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$

[Hoang Tung 126]

Áp dụng bdt :$(x^3+1)(y^3+1)(z^3+1)\geq (1+xyz)^3$

Ta có :$(a^3+1)(b^3+1)(b^3+1)\geq (1+ab^2)^3, (b^3+1)(c^3+1)(c^3+1)\geq (1+bc^2)^3,(c^3+1)(a^3+1)(a^3+1)\geq (1+a^2c)^3$

Nhân theo vế cấc bdt cùng chiều rồi căn bậc 3 hai vế ta được :$(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)\geq (1+ab^2)(1+bc^2)(1+ca^2)$(đpcm)

 

Theo bdt AM-GM 3 số ta có :$a^3+b^3+b^3\geq 3ab^2,b^3+c^3+c^3\geq 3bc^2,c^3+a^3+a^3\geq 3ca^2$

Cộng theo vế các bddt ta được :$3(a^3+b^3+c^3)\geq 3(ab^2+bc^2+ca^2)= > a^3+b^3+c^3\geq ab^2+bc^2+ca^2$

$= > BDT$ có tồn tại