Chủ đề này có 2 trả lời

[khonggiohan]

cho $\mathbb{P}x=(1+x+x^{2})^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{2n-1}x^{2n-1}+a_{2n}x^{2n}$ .Tính  tổng:

 $S=a_{0}+a_{2}+...+a_{2n-2}+a_{2n}$

 

[nghiemthanhbach]

cho $\mathbb{P}x=(1+x+x^{2})^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{2n-1}x^{2n-1}+a_{2n}x^{2n}$ .Tính  tổng:

 $S=a_{0}+a_{2}+...+a_{2n-2}+a_{2n}$

Bài này là bài của chuyên Toán máy tính đây mà

Thay $x=1$ vào $P(x)$ ta có: $(1+1+1^2)^n=\sum _{i=0}^{2n}a_{i}$

Đến đây khá đơn giản rồi nhỉ

P

[hxthanh]

cho $\mathbb{P}x=(1+x+x^{2})^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{2n-1}x^{2n-1}+a_{2n}x^{2n}$ .Tính  tổng:

 $S=a_{0}+a_{2}+...+a_{2n-2}+a_{2n}$

Cách 1: Lần lượt cho $x=1;\; -1$ vào $P(x)$ ta được:

$(1+1+1^2)^n=3^n=a_0+a_1+a_2+...+a_{2n-1}+a_{2n}$

$(1-1+(-1)^2)^n=1=a_0-a_1+a_2-...-a_{2n-1}+a_{2n}$

Cộng vế với vế ta có :$S=\dfrac{3^n+1}{2}$

 

Cách 2: Khai triển nhị thức:

$(1+x+x^2)^n=\sum_{i=0}^nC_n^i x^i(1+x)^i=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iC_n^iC_i^jx^{i+j}$

Như vậy:

$a_0=1,$ và:

$\sum_{k=1}^n a_{2k}=\sum_{k=1}^n\sum_{i+j=2k}C_n^iC_i^j=\sum_{i=1}^n C_n^i \left(\sum_{j\equiv i \pmod 2}C_i^j\right)$

$=\sum_{i=1}^n C_n^i 2^{i-1}=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^n C_n^i 2^{i}=\dfrac{1}{2}(3^n-1)$

 

$\Rightarrow \sum_{k=0}^n a_{2k}=1+\dfrac{1}{2}(3^n-1)=\dfrac{3^n+1}{2}$