cho $\mathbb{P}x=(1+x+x^{2})^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{2n-1}x^{2n-1}+a_{2n}x^{2n}$ .Tính tổng:
$S=a_{0}+a_{2}+...+a_{2n-2}+a_{2n}$
cho $\mathbb{P}x=(1+x+x^{2})^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{2n-1}x^{2n-1}+a_{2n}x^{2n}$ .Tính tổng:
$S=a_{0}+a_{2}+...+a_{2n-2}+a_{2n}$
Đời cho tôi 1 vai diễn lớn, chỉ hiềm nỗi tôi không hiểu nổi cốt truyện
cho $\mathbb{P}x=(1+x+x^{2})^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{2n-1}x^{2n-1}+a_{2n}x^{2n}$ .Tính tổng:
$S=a_{0}+a_{2}+...+a_{2n-2}+a_{2n}$
Bài này là bài của chuyên Toán máy tính đây mà
Thay $x=1$ vào $P(x)$ ta có: $(1+1+1^2)^n=\sum _{i=0}^{2n}a_{i}$
Đến đây khá đơn giản rồi nhỉ
P
cho $\mathbb{P}x=(1+x+x^{2})^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{2n-1}x^{2n-1}+a_{2n}x^{2n}$ .Tính tổng:
$S=a_{0}+a_{2}+...+a_{2n-2}+a_{2n}$
Cách 1: Lần lượt cho $x=1;\; -1$ vào $P(x)$ ta được:
$(1+1+1^2)^n=3^n=a_0+a_1+a_2+...+a_{2n-1}+a_{2n}$
$(1-1+(-1)^2)^n=1=a_0-a_1+a_2-...-a_{2n-1}+a_{2n}$
Cộng vế với vế ta có :$S=\dfrac{3^n+1}{2}$
Cách 2: Khai triển nhị thức:
$(1+x+x^2)^n=\sum_{i=0}^nC_n^i x^i(1+x)^i=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iC_n^iC_i^jx^{i+j}$
Như vậy:
$a_0=1,$ và:
$\sum_{k=1}^n a_{2k}=\sum_{k=1}^n\sum_{i+j=2k}C_n^iC_i^j=\sum_{i=1}^n C_n^i \left(\sum_{j\equiv i \pmod 2}C_i^j\right)$
$=\sum_{i=1}^n C_n^i 2^{i-1}=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^n C_n^i 2^{i}=\dfrac{1}{2}(3^n-1)$
$\Rightarrow \sum_{k=0}^n a_{2k}=1+\dfrac{1}{2}(3^n-1)=\dfrac{3^n+1}{2}$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh