Cho a,b,c>0 và (a+B)(b+c)(c+a)=8
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
P=(a^4)/(a^3+b^3+16)+(b^4)/(b^3+c^3+16)+(c^4)/(c^3+a^3+16)
#2
Đã gửi 30-10-2013 - 19:20
SPhuThuyS
-
- Thành viên
-
- 127 Bài viết
Trung sĩ
Cho a,b,c>0 và (a+B)(b+c)(c+a)=8
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
P=(a^4)/(a^3+b^3+16)+(b^4)/(b^3+c^3+16)+(c^4)/(c^3+a^3+16)
Áp dụng bđt Cauchy-schwart:
$P=\sum \frac{a^{4}}{a^{3}+b^{3}+16}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})+48}$
Mà $a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)^{3}-3(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)^{3}-24$
$\Rightarrow P\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(a+b+c)^{3}}$
Mặt khác: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{3}$(1)
$8=(a+b)(b+c)(c+a)\leqslant (\frac{a+b+b+c+c+a}{3})^{3}=\frac{8}{27}(a+b+c)^{3}$
$\Rightarrow a+b+c \geqslant 3$ (2)
Từ (1) và (2) , ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SPhuThuyS: 30-10-2013 - 19:22
- Kir, Phuong Thu Quoc và nuocmamkhamkham thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
