Chủ đề này có 1 trả lời

[Ham học toán hơn]

Cho (O) và một dây AB không qua O. Gọi M là trung điểm của AB.Qua M vẽ 2 dây cung CD và EF sao cho CD<EF và 2 điểm C và E cùng thuộc cung nhỏ AB, DE và FC lần lượt cắt AB tại I và J. Gọi G là điểm đối xứng của F qua MO.

a) C/mR : IMGD nội tiếp

b) C/mR: M là trung điểm của IJ

[Zaraki]

Cho (O) và một dây AB không qua O. Gọi M là trung điểm của AB.Qua M vẽ 2 dây cung CD và EF sao cho CD<EF và 2 điểm C và E cùng thuộc cung nhỏ AB, DE và FC lần lượt cắt AB tại I và J. Gọi G là điểm đối xứng của F qua MO.
a) C/mR : IMGD nội tiếp
b) C/mR: M là trung điểm của IJ

Lời giải. a) Vì $M$ trung điểm $AB$ nên $OM \perp AB$. Do đó $AB \parallel FG$, ta có $ \angle BMG= \angle MGF= \angle MFG$ (vì $F$ đối xứng với $G$ qua $OM$ nên $G \in (O)$ và $MO \perp FG$).
Lại có tứ giác $EFGD$ nội tiếp nên $ \angle MFG+ \angle EDG=180^{\circ}$ hay $\angle IMG+ \angle IDG=180^{\circ}$. Vậy tứ giác $MIDG$ nội tiếp.
b) Vì tứ giác $MIDG$ nội tiếp nên $\angle IDM= \angle IGM$. Mặt khác thì $\angle IDM= \angle MFJ$ do tứ giác $ECFD$ nội tiếp. Ta suy ra $\angle MFJ= \angle MGI$. Kết hợp với $\angle MFG= \angle MGF$ suy ra $\angle JFG= \angle IGF$ nên $IJFG$ là hình thang cân có $MO$ vuông góc với hai đáy và đi qua trung điểm $FG$ nên cũng đi qua trung điểm $JI$.
Vậy $MI=MJ$.