Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\left \{ u_n \right \}$ hội tụ, $u_{n+1}=u_n+\frac{a_n}{u_n}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
zarya

zarya

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 145 Bài viết

Cho số thực dương $u_0$ và $\left \{ a_n \right \}$ là dãy các số thực dương. Đặt:

$u_{n+1}=u_n+\frac{a_n}{u_n}$

Chứng minh dãy $\left \{ u_n \right \}$ hội tụ khi và chỉ khi chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ hội tụ.



#2
duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết

Cho số thực dương $u_0$ và $\left \{ a_n \right \}$ là dãy các số thực dương. Đặt:

$u_{n+1}=u_n+\frac{a_n}{u_n}$

Chứng minh dãy $\left \{ u_n \right \}$ hội tụ khi và chỉ khi chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ hội tụ.

 dễ thấy Un là dãy số tăng.

 (=>) giả sử Un là dãy hội tụ . Để chứng minh $\sum a_n $ ta chứng minh chuỗi này hội tụ thì ta cm nó bị chặn trên .

$a_n=u_{n+1}u_n - u_n^2\leq u_{n+1}^2-u_n^2$

vì $u_n$ hội tụ nên nó bị chặn trên bởi u.

với mọi n thuộc sô tự nhiên ta có : $\sum_{0}^{n}a_n\leq u_{n+1}^2-u_0^2\leq u^2-u_0^2$

 

do đó $\sum_{0}^{\infty }a_n$  hội tụ.

 

(<=) giả sử $\sum_{0}^{\infty }a_n$  hội tụ. ta chứng minh $u_n$ hội tụ

vì $u_n$ là dãy tăng nên để chứng minh nó hội tụ ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên .

$a_n=(u_{n+1}-u_n)u_n\geq (u_{n+1}-u_n)u_0$

 

với mọi n thuộc số tự nhiên ta có $\sum_{0}^{n} a_n\geq [\sum (u_{n+1}-u_n)]u_0=(u_{n+1}-u_0)u_0$ 

=> .... => $u_n$ bị chặn trên . do đó dãy này hội tụ .


NGU
Hình đã gửi




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh