Cho số thực dương $u_0$ và $\left \{ a_n \right \}$ là dãy các số thực dương. Đặt:
$u_{n+1}=u_n+\frac{a_n}{u_n}$
Chứng minh dãy $\left \{ u_n \right \}$ hội tụ khi và chỉ khi chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ hội tụ.
Cho số thực dương $u_0$ và $\left \{ a_n \right \}$ là dãy các số thực dương. Đặt:
$u_{n+1}=u_n+\frac{a_n}{u_n}$
Chứng minh dãy $\left \{ u_n \right \}$ hội tụ khi và chỉ khi chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ hội tụ.
Cho số thực dương $u_0$ và $\left \{ a_n \right \}$ là dãy các số thực dương. Đặt:
$u_{n+1}=u_n+\frac{a_n}{u_n}$
Chứng minh dãy $\left \{ u_n \right \}$ hội tụ khi và chỉ khi chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ hội tụ.
dễ thấy Un là dãy số tăng.
(=>) giả sử Un là dãy hội tụ . Để chứng minh $\sum a_n $ ta chứng minh chuỗi này hội tụ thì ta cm nó bị chặn trên .
$a_n=u_{n+1}u_n - u_n^2\leq u_{n+1}^2-u_n^2$
vì $u_n$ hội tụ nên nó bị chặn trên bởi u.
với mọi n thuộc sô tự nhiên ta có : $\sum_{0}^{n}a_n\leq u_{n+1}^2-u_0^2\leq u^2-u_0^2$
do đó $\sum_{0}^{\infty }a_n$ hội tụ.
(<=) giả sử $\sum_{0}^{\infty }a_n$ hội tụ. ta chứng minh $u_n$ hội tụ
vì $u_n$ là dãy tăng nên để chứng minh nó hội tụ ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên .
$a_n=(u_{n+1}-u_n)u_n\geq (u_{n+1}-u_n)u_0$
với mọi n thuộc số tự nhiên ta có $\sum_{0}^{n} a_n\geq [\sum (u_{n+1}-u_n)]u_0=(u_{n+1}-u_0)u_0$
=> .... => $u_n$ bị chặn trên . do đó dãy này hội tụ .
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh