Chủ đề này có 1 trả lời

[tam110064]

Cho $f(x)$ liên tục trên $R$.Đặt $f_1(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt;f_2(x)=\int_{0}^{x}f_1(t)dt..,f_{n+1}(x)=\int_{0}^{x}f_n(t)dt$.

chứng minh rằng : $f_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}\int_{0}^{x}(x-t)^nf(t)dt;\forall n\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tam110064: 01-11-2013 - 15:27

[duong vi tuan]

với mọi n thuộc số tự nhiên ta có : $f_{n}(0)=0$

áp dụng tích phân từng phần 

$f_{n+1}(x)=\int_{0}^{x}f_n(t)dt=-\int_{0}^{x}f_n(t)d(x-t)=\int_{0}^{x}f'_n(t)(t-x)dt$

$=\int_{0}^{x}f_{n-1}(t)(x-t)dt=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}f_{n-1}(t)d(x-t)^2=\frac{1}{2}\int_{0}^{x}f'_{n-1}(x-t)^2(t)dt$

$=\frac{1}{2}\int_{0}^{x}f_{n-2}(t)(x-t)^2(t)dt=...=\frac{1}{n!}\int_{0}^{x}(x-t)^nf(t)dt$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 02-11-2013 - 08:55