Chủ đề này có 3 trả lời

[Hoang Tung 126]

Cho a,b,c là các số thực dương .CMR: 

           A=$(a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ac}{b})(c+\frac{ab}{c})\geq 4\sqrt[3]{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}$

[daicahuyvn]

Cho a,b,c là các số thực dương .CMR: 

           A=$(a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ac}{b})(c+\frac{ab}{c})\geq 4\sqrt[3]{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}$

$ (a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ac}{b})(c+\frac{ab}{c})\geq 4\sqrt[3]{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)} $

$ \Leftrightarrow (\frac{a^2}{bc}+1)(\frac{b^2}{ca}+1)(\frac{c^2}{ab}+1)\ge 4\sqrt[3]{(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca})(\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab})(\frac{c^2}{ab}+\frac{a^2}{bc})} $

Đặt $x=\frac{a^2}{bc},y=\frac{b^2}{ca},z=\frac{c^2}{ab}$

Ta có $x,y,z>0$ và $xyz=1$

Cần CM $(x+1)(y+1)(z+1)\ge 4\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}$

$(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-1$

$(x+1)(y+1)(z+1)=2+x+y+z+xy+yz+zx\ge 2+2\sqrt{(x+y+z)(xy+yz+zx)}$

Đặt $t=\sqrt{(x+y+z)(xy+yz+zx)}$

Chỉ cần Cm $2t+2\ge 4\sqrt[3]{t^2-1}\Leftrightarrow (t-3)^2(t+1)\ge 0$(đúng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 02-11-2013 - 11:35

[Hoang Tung 126]

Mình có cách này hay hơn này : Áp dụng bđt $\sqrt[3]{4(x^3+y^3)}\leq \frac{2(x^2+y^2)}{x+y}$

$= > 4\sqrt[3]{(x^3+y^3)(y^3+z^3)(z^3+x^3)}\leq \frac{8(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)}{(x+y)(y+z)(z+x)}=B$

Do đó ta chỉ cần CM :$B\leq (a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ac}{b})(c+\frac{ab}{c})< = > (a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$

Sử dụng tách ghép đối xứng ta có :$(a^2+bc)(b+c)=c(a^2+b^2)+b(c^2+a^2)\geq 2\sqrt{bc(a^2+c^2)(a^2+b^2)}$

Tuơng tự các biểu thức kia rồi nhân lại ta có đpcm

[ILOVECR7]

Mình có cách này hay hơn này : Áp dụng bđt $\sqrt[3]{4(x^3+y^3)}\leq \frac{2(x^2+y^2)}{x+y}$

$= > 4\sqrt[3]{(x^3+y^3)(y^3+z^3)(z^3+x^3)}\leq \frac{8(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)}{(x+y)(y+z)(z+x)}=B$

Do đó ta chỉ cần CM :$B\leq (a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ac}{b})(c+\frac{ab}{c})< = > (a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$

Sử dụng tách ghép đối xứng ta có :$(a^2+bc)(b+c)=c(a^2+b^2)+b(c^2+a^2)\geq 2\sqrt{bc(a^2+c^2)(a^2+b^2)}$

Tuơng tự các biểu thức kia rồi nhân lại ta có đpcm

Anh chứng minh bđt đầu cho em với ạ