Chủ đề này có 3 trả lời

[kuromeomeo]

1., một điểm A cố định trên đường tròn và một điểm C di động trên đường tròn đó. Dựng hình thoi OABC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC

2.Cho 1991 điểm trên mặt phẳng sao cho trong mỗi nhóm ba điểm của các điểm nói trên bao giờ cũng có thể chọn ra được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh trong các điểm đã cho có ít nhất 996 nằm trong đường tròn có bán kính bằng 1

3. Cho hai đường tròn đồng tâm O và một đường thẳng cắt hai đường tròn đó theo thứ tự ở A, B, C, D. Chứng minh rằng : AC = BD hoặc AD = BC

4. Cho đường tròn (O) và một điểm I ở bên trong đường tròn đó. Qua I kẻ một dây AB nào đó . Gọi CD là một dây của đường tròn nhận I làm trung điểm. So sánh hai dây AB và CD

 

[Hoang Tung 126]

Bài 2: Kí hiệu $(M,1)$ là đường tròn tâm M có bán kính =1 .Vẽ đường tròn $(O,1)$ 

-Nếu tất cả 1991 điểm kia đều nằm bên trong đường tròn này thì bài toán được chứng minh.

-Nếu có 1 điểm bất kì nằm bên ngoài đường tròn này .Gỉa sử đó là điểm $A$ .Vẽ đường tròn $(A,1)$ .

+Nếu tất cả 1991 điểm đều nằm bên trong cả 2 đường tròn .Do có 1991 điểm mà có 2 đường tròn nên tồn tại ít nhất 1đường tròn chứa 996 điểm (đpcm)

+Nếu có 1 điểm bất kì nằm ngoài cả 2 đường tròn .Gỉa sử đó là điểm B. Vẽ đường tròn $(B,1)$ .Xét $\Delta OAB$ có $OA> 1,AB> 1,OB> 1$(vô lý do trái với giả thiết) 

   Vậy luôn tìm được ít nhất 996 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán

[Rias Gremory]

2.Cho 1991 điểm trên mặt phẳng sao cho trong mỗi nhóm ba điểm của các điểm nói trên bao giờ cũng có thể chọn ra được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh trong các điểm đã cho có ít nhất 996 nằm trong đường tròn có bán kính bằng 1

$2$

Gọi $A$ là một trong các điểm đã cho. Vẽ đường tròn $(A;1)$. Nếu các điểm còn lại nằm trong hình tròn $(A;1)$ thì bài toán giải xong. Xét điểm $B$ nằm ngoài đường tròn $(A;1)$ tức $AB>1$ .Vẽ hình tròn $(B; 1)$. Rõ ràng các điểm còn lại nằm trong hai hình tròn này.

Thật vậy, giả sử $C$ không thuôc $1$ trong $2$ hình tròng này 

$\Delta ABC$ có $AB> 1,AC> 1,BC> 1$ ( trái với giả thiết)

Hai hình tròn này chứa $1991$ điểm nên theo nguyên tắc Dirichlet có $1$ hình tròn chứa không ít hơn $996$ điểm (ĐPCM)

[angleofdarkness]

1/

 

3/

 

4/

 

Đã giải ở đây