Cho p nguyên tố lớn hơn 5 Cmr $\binom{p}{2p}$ đồng dư 2 mod $p^{3}$
Cmr $\binom{p}{2p}$ đồng dư 2 mod $p^{3}$
#1
Đã gửi 02-11-2013 - 17:08
#2
Đã gửi 10-11-2013 - 15:42
Cho p nguyên tố lớn hơn 5 Cmr $\binom{p}{2p}$ đồng dư 2 mod $p^{3}$
bạn có thể làm được bài " đề cũng như trên nhưng p nguyên tố và mod $p^{2}$" không?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi raquaza: 10-11-2013 - 15:42
#3
Đã gửi 13-11-2013 - 00:46
Cho p nguyên tố lớn hơn 5 Cmr $\binom{p}{2p}$ đồng dư 2 mod $p^{3}$
Trả lời muộn quá :v :">
P/s : Phải là $\binom{2p}{p}$ chứ nhỉ.
Ta có $\binom{2p}{p}\equiv 2\pmod{p^{3}}$
$\Leftrightarrow \frac{(p+1)(p+2)...(2p-1)2p}{p!}-2 \,\vdots p^3$
$\Leftrightarrow \frac{(p+1)(p+2)...(2p-1)2p}{p!}-2 \,\vdots p^3$
$\Leftrightarrow (p+1)(p+2)...(2p-1)2p-2.p! \,\vdots p^4$
$\Leftrightarrow (p+1)(p+2)...(2p-1)-(p-1)! \,\vdots p^3$
(Do $p\geq 5$)
Vậy ta có ii)
Mặt khác ở trên ta vừa có $\sum_{i=1}^{p-1}\frac{1}{i}\equiv 0\pmod{p^2}$ và $sum_{i=1}^{p-1}\frac{1}{i^2)}\equiv 0\pmod{p}$ suy ra
$$\left($\sum_{i=1}^{p-1}\frac{1}{i}\right)^2-\sum_{i=1}^{p-1}\frac{1}{i^2)}\equiv 0\pmod{p}$$
$$\Leftrightarrow \sum_{1\leq i<j\leq p-1} \frac{1}{ij}\equiv 0\pmod{p} \,\,\,\text{Do p lẻ}$$
Vậy ta có ĐPCM $\square$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 13-11-2013 - 00:49
- Zaraki, boconganh207, LNH và 3 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 25-12-2013 - 18:01
bạn có thể làm được bài " đề cũng như trên nhưng p nguyên tố và mod $p^{2}$" không?
dùng công thức Vandermoore
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh