Bài toán :
Chứng minh rằng 1 đa thức bậc $n$ có hệ số lớn nhất là 1 bất kì luôn phân tích được thành trung bình cộng của 2 đa thức bậc $n$ hệ số lớn nhất là 1 và đều có $n$ nghiệm thực
Bài toán :
Chứng minh rằng 1 đa thức bậc $n$ có hệ số lớn nhất là 1 bất kì luôn phân tích được thành trung bình cộng của 2 đa thức bậc $n$ hệ số lớn nhất là 1 và đều có $n$ nghiệm thực
Bài toán :
Chứng minh rằng 1 đa thức bậc $n$ có hệ số lớn nhất là 1 bất kì luôn phân tích được thành trung bình cộng của 2 đa thức bậc $n$ hệ số lớn nhất là 1 và đều có $n$ nghiệm thực
Gọi đa thức đơn khởi là đa thức có hệ số lớn nhất là $1$. Ta sẽ chứng minh rằng: Với đa thức đơn khởi $P$ có bậc $n$ cho trước thì tồn tại hai đa thức đơn khởi $A,B$ cũng có bậc $n$ và đều có $n$ nghiệm thực sao cho
\[P(x)=\frac{A(x)+B(x)}{2},\quad \forall x\in \mathbb{R}.\]
Đầu tiên chọn $n$ số bất kì là $x_1<x_2<\dots<x_n$. Tiếp theo với mỗi $i\in \{1,2,\dots,n\}$ thì chọn $a_i$ sao cho
\[\begin{cases} a_i>\max(2P(x_i),0)&\text{nếu}\ i\ \text{chẵn},\\ a_i<\min(2P(x_i),0)&\text{nếu}\ i\ \text{lẻ}.\end{cases}\]
Đặt $b_i=2P(x_i)-a_i$, khi đó ta thấy rằng với mọi $i=\overline{1,n-1}$ thì $a_ia_{i+1}<0\quad\text{và}\quad b_ib_{i+1}<0$. Dựa vào công thức nội suy Lagrange thì tồn tại hai đa thức $A^*,B^*$ có bậc không vượt quá $n-1$ sao cho $A^*(x_i)=a_i$ và $B^*(x_i)=b_i$ với mọi $i=\overline{1,n}$. Đặt
\[A(x):=A^*(x)+(x-1)(x-2)\dots(x-n)\quad\text{và}\quad B(x):=B^*(x)+(x-1)(x-2)\dots(x-n)\]
thì hai đa thức này thỏa đề. Thật vậy, ta cần chứng minh một số nội dung sau
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 08-12-2022 - 20:42
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh