Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng 1 đa thức bậc $n$ có hệ số lớn nhất là 1 bất kì...

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Bài toán :

Chứng minh rằng 1 đa thức bậc $n$ có hệ số lớn nhất là 1 bất kì luôn phân tích được thành trung bình cộng của 2 đa thức bậc $n$ hệ số lớn nhất là 1 và đều có $n$ nghiệm thực


“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Bài toán :

Chứng minh rằng 1 đa thức bậc $n$ có hệ số lớn nhất là 1 bất kì luôn phân tích được thành trung bình cộng của 2 đa thức bậc $n$ hệ số lớn nhất là 1 và đều có $n$ nghiệm thực

Gọi đa thức đơn khởi là đa thức có hệ số lớn nhất là $1$. Ta sẽ chứng minh rằng: Với đa thức đơn khởi $P$ có bậc $n$ cho trước thì tồn tại hai đa thức đơn khởi $A,B$ cũng có bậc $n$ và đều có $n$ nghiệm thực sao cho 

\[P(x)=\frac{A(x)+B(x)}{2},\quad \forall x\in \mathbb{R}.\]

Đầu tiên chọn $n$ số bất kì là $x_1<x_2<\dots<x_n$. Tiếp theo với mỗi $i\in \{1,2,\dots,n\}$ thì chọn $a_i$ sao cho

\[\begin{cases} a_i>\max(2P(x_i),0)&\text{nếu}\ i\ \text{chẵn},\\ a_i<\min(2P(x_i),0)&\text{nếu}\ i\ \text{lẻ}.\end{cases}\]

Đặt $b_i=2P(x_i)-a_i$, khi đó ta thấy rằng với mọi $i=\overline{1,n-1}$ thì $a_ia_{i+1}<0\quad\text{và}\quad b_ib_{i+1}<0$. Dựa vào công thức nội suy Lagrange thì tồn tại hai đa thức $A^*,B^*$ có bậc không vượt quá $n-1$ sao cho $A^*(x_i)=a_i$ và $B^*(x_i)=b_i$ với mọi $i=\overline{1,n}$. Đặt

\[A(x):=A^*(x)+(x-1)(x-2)\dots(x-n)\quad\text{và}\quad B(x):=B^*(x)+(x-1)(x-2)\dots(x-n)\]

thì hai đa thức này thỏa đề. Thật vậy, ta cần chứng minh một số nội dung sau

  • $A,B$ là hai đa thức đơn khởi cùng có bậc $n$ (do $\deg(A^*)\le n-1$),
  • $A,B$ đều có $n$ nghiệm thực (sử dụng tính chất $A(x_i)A(x_{i+1})=a_ia_{i+1}<0$),
  • $P\equiv \frac{A+B}{2}$ (đa thức $Q:=P-\frac{A+B}{2}$ có bậc không vượt quá $n-1$ và có $n$ nghiệm).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 08-12-2022 - 20:42

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh