Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển HSG TP Hà Nội


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 nam8298

nam8298

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh Phúc
  • Sở thích:đá bóng chơi cờ và làm toán

Đã gửi 10-10-2013 - 19:57

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG THÀNH PHỐ
Năm học 2013-2014



đề thi HSG.jpg

Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân


#2 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 30-10-2013 - 20:58

Bài cuối : 

Trước hết ta chứng minh $3x^{2}+2y^{2}+z^2\leq \dfrac{10}{3}$

Thật vậy, theo khai triển $Abel$, ta có :

$$3x^{2}+2y^2+z^2=z.z+2y.y+3x.x=(z-y)z+(y-x)(z+2y)+x(z+2y+3x)\leq (z-y)+(y-x)(1+2)+4x=x+2y+z=\dfrac{1}{3}\left [ (3x+2y+z)+(4y+2z) \right ]\leq \dfrac{1}{3}\left ( 4+4+2 \right )=\dfrac{10}{3}$$

Tiếp tục sử dụng công thức khai triển $Abel$ :

$$P=3x^{3}+2y^3+z^3=z^2.z+2y^2.y+3x^2.x=(z-y)z^{2}+(y-x)(z^2+2y^2)+x(z^2+2y^2+3x^2)\leq (z-y)+(y-x)(1+2)+x.\dfrac{10}{3}=\frac{1}{3}x+2y+z=\frac{1}{9}(3x+18y+9z)=\dfrac{1}{9}\left [ (3x+2y+z)+(16y+8z) \right ]\leq \dfrac{1}{9}\left ( 4+16+8 \right )=\dfrac{28}{9}$$

Kết luận : $MaxP=\dfrac{28}{9}\Leftrightarrow x=1/3,y=z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 30-10-2013 - 20:58

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#3 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 31-10-2013 - 19:38



                                                          KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG THÀNH PHỐ 

                                                                          Năm học 2013-2014

 

 

 

attachicon.gifđề thi HSG.jpg

1.Bài phương trình hàm (k biết đúng k @@)

Cho $x=0$ thì $f(f(y))=(f(y))^2+f(0)$

Cho $x=-f(x)$ thì $f(f(x)-f(y))=(f(x)-f(y))^2+f(0)$ (1)

Từ đề bài, nếu ta cố định $y$, cho $x$ chạy trên tập $\mathbb{R}$ thì ta có $f(x+f(y))-f(-x)=(f(y))^2+2xf(y)$, suy ra với mọi $t\in \mathbb{R}$, luôn tồn tại $x, y$ để $f(x)-f(y)=t$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $f(x)=x^2+f(0)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy $f(x)=x^2+f(0)$

2. Bài dãy số:

Ta xét dãy

$a_{0}, a_{1}=min(u_1, u_2)$

$a_{n+2}=\frac{1}{5}a_{n+1}^2+\sqrt[3]{a_n}$ (1)

Thế thì dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp dãy $a_{n}$ là dãy đơn điệu tăng, $a_n\leq u_{n}<1$

Do đó theo nguyên lý Weisstrass thì dãy $a_{n}$ tồn tại giới hạn hữu hạn là $a$

Lấy giới hạn cả 2 vế của (1) ta thu được 

$5a=a^2+4\sqrt[3]{a}$

Suy ra $a=1$

Do đó dãy $a_{n}$ có giới hạn là $1$, nên theo nguyên lí kẹp kết hợp với $a_{n}\leq u_{n}< 1$ ta được $\lim u_{n}=1$

Vậy giới hạn của dãy là $1$

P/S:Spam chút=)). Anh Mrnhan có quen anh Vũ Anh không mà lại có tờ đề của anh ấy=))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 31-10-2013 - 19:40

$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#4 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 31-10-2013 - 19:50

 

Bài cuối : 

Trước hết ta chứng minh $3x^{2}+2y^{2}+z^2\leq \dfrac{10}{3}$

Thật vậy, theo khai triển $Abel$, ta có :

$$3x^{2}+2y^2+z^2=z.z+2y.y+3x.x=(z-y)z+(y-x)(z+2y)+x(z+2y+3x)\leq (z-y)+(y-x)(1+2)+4x=x+2y+z=\dfrac{1}{3}\left [ (3x+2y+z)+(4y+2z) \right ]\leq \dfrac{1}{3}\left ( 4+4+2 \right )=\dfrac{10}{3}$$

Tiếp tục sử dụng công thức khai triển $Abel$ :

$$P=3x^{3}+2y^3+z^3=z^2.z+2y^2.y+3x^2.x=(z-y)z^{2}+(y-x)(z^2+2y^2)+x(z^2+2y^2+3x^2)\leq (z-y)+(y-x)(1+2)+x.\dfrac{10}{3}=\frac{1}{3}x+2y+z=\frac{1}{9}(3x+18y+9z)=\dfrac{1}{9}\left [ (3x+2y+z)+(16y+8z) \right ]\leq \dfrac{1}{9}\left ( 4+16+8 \right )=\dfrac{28}{9}$$

Kết luận : $MaxP=\dfrac{28}{9}\Leftrightarrow x=1/3,y=z=1$

 

Cách chuẩn đấy Huy ạ=)). Bài này có cách dùng đạo hàm khử từng biến nhưng khá dài 


$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#5 haitienbg

haitienbg

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Xem phim, Đọc truyện, Cờ vua, $Geometry$

Đã gửi 19-11-2013 - 22:59

(Bài hình)

Gọi $M, N$ là trung điểm $AD,BC$

Ta có $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{YZ}+\overrightarrow{Y'Z'})$

$\overrightarrow{Y'Z'}=2\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{YZ}$

$\overrightarrow{AT}=\overrightarrow{AX}+\overrightarrow{XT}$

Do đó:

$\overrightarrow{Y'Z'}.\overrightarrow{AT}=(2\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{YZ}).(\overrightarrow{AX}+\overrightarrow{XT})=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AX}-\overrightarrow{YZ}.\overrightarrow{XT}$

Với lưu ý là $AX, XT$ tương ứng vuông góc với $YZ,BC$

Để ý một chút xíu ta thấy hai tam giác $XBC,XYZ$ đồng dạng nên

$BC.XA=YZ.XT$, và $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AX})=(\overrightarrow{A'T},\overrightarrow{A'X})$

Đến đây bài toán chứng minh xong~~


......Không có việc gì là không thể......... 

           = ====== NVT ====== =


#6 mathlike8

mathlike8

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hackers University

Đã gửi 25-11-2013 - 16:05

Mọi người giải hộ mình bài hệ pt với!!!



#7 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 25-11-2013 - 16:14

Ai làm bài 1 ý 2 đj



#8 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 12-12-2013 - 21:21

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG THÀNH PHỐ
Năm học 2013-2014



attachicon.gifđề thi HSG.jpg

Ta sẽ chứng minh $P\le \frac{28}{9}$

  • TH1: $x\le \frac{1}{3}$

 ​Khi đó, kết hợp với giả thiết $y \le x \le 1$ ta có

     

$3x^3+2y^3+z^3\le 3.(\frac{1}{3})^3+2.1^3+1.1^3=\frac{28}{9}$ (dpcm)

  • TH2: $x \ge \frac{1}{3}$

Vì $0<x \le y \le x $ $\Rightarrow 3x+2y+z\ge 6x$

 

$\Rightarrow \frac{2}{3}>x$

 

Ta có:

$P=3x^3+2y^3+z^3=2(x+y)(x^2-xy+y^2)+(x+z)(x^2-xz+z^2)\le (x^2-xz+z^2)[2(x+y)+y+z]\le 4(x^2-xz+z^2)$

Mặt khác 

$(x-\frac{2}{3})(z-1)\ge 0$

 

$\Rightarrow -xz\le \frac{2}{3}-x-\frac{2z}{3}$ (1)

 

$(x-\frac{1}{3})(x-\frac{2}{3})\le 0$  (2)

 

$(z+\frac{1}{3})(z-1)\le 0$   (3)

Cộng theo vế 3 bđt (1)(2)(3) ta có được 

 

$x^2-xz+z^3\le \frac{7}{9}$

 

$\Rightarrow P\le \frac{28}{9}$

 

Vậy $\max P=\frac{28}{9}$ khi $x=\frac{1}{3}$ $y=x=1$

 



#9 kb1212

kb1212

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

Đã gửi 18-12-2013 - 13:09

cho tui xin lời giải bài hệ pt với ! hướng giải thôi cũng được



#10 Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam Tiền Giang

Đã gửi 18-12-2013 - 21:20

Bài hệ xem ở đây


Nothing won't change 

 

$\lim_{n\rightarrow \infty }\ln[h(t)]=117771$


#11 haitienbg

haitienbg

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Xem phim, Đọc truyện, Cờ vua, $Geometry$

Đã gửi 19-12-2013 - 00:46

Vào lúc 18 Tháng 12 2013 - 13:09, kb1212 đã nói:

 

 

 

 

 

Cộng cả ba pt được $(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0$ nên trong ba biến $x,y,z$ có ít nhất một biến lớn hơn hoặc $1$. Không mất tính tq giả sử $x=max{(x,y,z)}$ có $x \geq 1$

Từ pt thứ ba có ngay $z \geq 1$ ( do $x \geq y, x \geq 1$)

Từ pt thứ nhất đc $y^2 \geq 1$

Xét trường hợp $y \leq -1$, từ $(3)$ có $x^3 \geq z^3 \geq 7$

$y \leq -1$ nên từ $(2)$ sẽ có $x \geq z^2+ \frac{2}{3}$

Thế vào $(3)$ thì vô lí

Vậy ....

 

 


......Không có việc gì là không thể......... 

           = ====== NVT ====== =





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh