Đề thi chọn đội tuyển HSG TP Hà Nội
#1
Đã gửi 10-10-2013 - 19:57
#2
Đã gửi 30-10-2013 - 20:58
Bài cuối :
Trước hết ta chứng minh $3x^{2}+2y^{2}+z^2\leq \dfrac{10}{3}$
Thật vậy, theo khai triển $Abel$, ta có :
$$3x^{2}+2y^2+z^2=z.z+2y.y+3x.x=(z-y)z+(y-x)(z+2y)+x(z+2y+3x)\leq (z-y)+(y-x)(1+2)+4x=x+2y+z=\dfrac{1}{3}\left [ (3x+2y+z)+(4y+2z) \right ]\leq \dfrac{1}{3}\left ( 4+4+2 \right )=\dfrac{10}{3}$$
Tiếp tục sử dụng công thức khai triển $Abel$ :
$$P=3x^{3}+2y^3+z^3=z^2.z+2y^2.y+3x^2.x=(z-y)z^{2}+(y-x)(z^2+2y^2)+x(z^2+2y^2+3x^2)\leq (z-y)+(y-x)(1+2)+x.\dfrac{10}{3}=\frac{1}{3}x+2y+z=\frac{1}{9}(3x+18y+9z)=\dfrac{1}{9}\left [ (3x+2y+z)+(16y+8z) \right ]\leq \dfrac{1}{9}\left ( 4+16+8 \right )=\dfrac{28}{9}$$
Kết luận : $MaxP=\dfrac{28}{9}\Leftrightarrow x=1/3,y=z=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 30-10-2013 - 20:58
- tim1nuathatlac, tkvn97, Mrnhan và 9 người khác yêu thích
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
#3
Đã gửi 31-10-2013 - 19:38
1.Bài phương trình hàm (k biết đúng k @@)
Cho $x=0$ thì $f(f(y))=(f(y))^2+f(0)$
Cho $x=-f(x)$ thì $f(f(x)-f(y))=(f(x)-f(y))^2+f(0)$ (1)
Từ đề bài, nếu ta cố định $y$, cho $x$ chạy trên tập $\mathbb{R}$ thì ta có $f(x+f(y))-f(-x)=(f(y))^2+2xf(y)$, suy ra với mọi $t\in \mathbb{R}$, luôn tồn tại $x, y$ để $f(x)-f(y)=t$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $f(x)=x^2+f(0)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$
Thử lại thấy thỏa mãn
Vậy $f(x)=x^2+f(0)$
2. Bài dãy số:
Ta xét dãy
$a_{0}, a_{1}=min(u_1, u_2)$
$a_{n+2}=\frac{1}{5}a_{n+1}^2+\sqrt[3]{a_n}$ (1)
Thế thì dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp dãy $a_{n}$ là dãy đơn điệu tăng, $a_n\leq u_{n}<1$
Do đó theo nguyên lý Weisstrass thì dãy $a_{n}$ tồn tại giới hạn hữu hạn là $a$
Lấy giới hạn cả 2 vế của (1) ta thu được
$5a=a^2+4\sqrt[3]{a}$
Suy ra $a=1$
Do đó dãy $a_{n}$ có giới hạn là $1$, nên theo nguyên lí kẹp kết hợp với $a_{n}\leq u_{n}< 1$ ta được $\lim u_{n}=1$
Vậy giới hạn của dãy là $1$
P/S:Spam chút=)). Anh Mrnhan có quen anh Vũ Anh không mà lại có tờ đề của anh ấy=))
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 31-10-2013 - 19:40
- Mrnhan, LNH, chuyentoan1998 và 1 người khác yêu thích
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#4
Đã gửi 31-10-2013 - 19:50
Bài cuối :
Trước hết ta chứng minh $3x^{2}+2y^{2}+z^2\leq \dfrac{10}{3}$
Thật vậy, theo khai triển $Abel$, ta có :
$$3x^{2}+2y^2+z^2=z.z+2y.y+3x.x=(z-y)z+(y-x)(z+2y)+x(z+2y+3x)\leq (z-y)+(y-x)(1+2)+4x=x+2y+z=\dfrac{1}{3}\left [ (3x+2y+z)+(4y+2z) \right ]\leq \dfrac{1}{3}\left ( 4+4+2 \right )=\dfrac{10}{3}$$
Tiếp tục sử dụng công thức khai triển $Abel$ :
$$P=3x^{3}+2y^3+z^3=z^2.z+2y^2.y+3x^2.x=(z-y)z^{2}+(y-x)(z^2+2y^2)+x(z^2+2y^2+3x^2)\leq (z-y)+(y-x)(1+2)+x.\dfrac{10}{3}=\frac{1}{3}x+2y+z=\frac{1}{9}(3x+18y+9z)=\dfrac{1}{9}\left [ (3x+2y+z)+(16y+8z) \right ]\leq \dfrac{1}{9}\left ( 4+16+8 \right )=\dfrac{28}{9}$$
Kết luận : $MaxP=\dfrac{28}{9}\Leftrightarrow x=1/3,y=z=1$
Cách chuẩn đấy Huy ạ=)). Bài này có cách dùng đạo hàm khử từng biến nhưng khá dài
- huuphuc292 và LNH thích
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#5
Đã gửi 19-11-2013 - 22:59
(Bài hình)
Gọi $M, N$ là trung điểm $AD,BC$
Ta có $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{YZ}+\overrightarrow{Y'Z'})$
$\overrightarrow{Y'Z'}=2\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{YZ}$
$\overrightarrow{AT}=\overrightarrow{AX}+\overrightarrow{XT}$
Do đó:
$\overrightarrow{Y'Z'}.\overrightarrow{AT}=(2\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{YZ}).(\overrightarrow{AX}+\overrightarrow{XT})=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AX}-\overrightarrow{YZ}.\overrightarrow{XT}$
Với lưu ý là $AX, XT$ tương ứng vuông góc với $YZ,BC$
Để ý một chút xíu ta thấy hai tam giác $XBC,XYZ$ đồng dạng nên
$BC.XA=YZ.XT$, và $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AX})=(\overrightarrow{A'T},\overrightarrow{A'X})$
Đến đây bài toán chứng minh xong~~
- Zaraki, 19kvh97, huuphuc292 và 5 người khác yêu thích
......Không có việc gì là không thể.........
= ====== NVT ====== =
#6
Đã gửi 25-11-2013 - 16:05
Mọi người giải hộ mình bài hệ pt với!!!
#7
Đã gửi 25-11-2013 - 16:14
#8
Đã gửi 12-12-2013 - 21:21
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG THÀNH PHỐ
Năm học 2013-2014
đề thi HSG.jpg
Ta sẽ chứng minh $P\le \frac{28}{9}$
- TH1: $x\le \frac{1}{3}$
Khi đó, kết hợp với giả thiết $y \le x \le 1$ ta có
$3x^3+2y^3+z^3\le 3.(\frac{1}{3})^3+2.1^3+1.1^3=\frac{28}{9}$ (dpcm)
- TH2: $x \ge \frac{1}{3}$
Vì $0<x \le y \le x $ $\Rightarrow 3x+2y+z\ge 6x$
$\Rightarrow \frac{2}{3}>x$
Ta có:
$P=3x^3+2y^3+z^3=2(x+y)(x^2-xy+y^2)+(x+z)(x^2-xz+z^2)\le (x^2-xz+z^2)[2(x+y)+y+z]\le 4(x^2-xz+z^2)$
Mặt khác
$(x-\frac{2}{3})(z-1)\ge 0$
$\Rightarrow -xz\le \frac{2}{3}-x-\frac{2z}{3}$ (1)
$(x-\frac{1}{3})(x-\frac{2}{3})\le 0$ (2)
$(z+\frac{1}{3})(z-1)\le 0$ (3)
Cộng theo vế 3 bđt (1)(2)(3) ta có được
$x^2-xz+z^3\le \frac{7}{9}$
$\Rightarrow P\le \frac{28}{9}$
Vậy $\max P=\frac{28}{9}$ khi $x=\frac{1}{3}$ $y=x=1$
- IloveMaths yêu thích
#9
Đã gửi 18-12-2013 - 13:09
cho tui xin lời giải bài hệ pt với ! hướng giải thôi cũng được
#11
Đã gửi 19-12-2013 - 00:46
Vào lúc 18 Tháng 12 2013 - 13:09, kb1212 đã nói:
Cộng cả ba pt được $(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0$ nên trong ba biến $x,y,z$ có ít nhất một biến lớn hơn hoặc $1$. Không mất tính tq giả sử $x=max{(x,y,z)}$ có $x \geq 1$
Từ pt thứ ba có ngay $z \geq 1$ ( do $x \geq y, x \geq 1$)
Từ pt thứ nhất đc $y^2 \geq 1$
Xét trường hợp $y \leq -1$, từ $(3)$ có $x^3 \geq z^3 \geq 7$
$y \leq -1$ nên từ $(2)$ sẽ có $x \geq z^2+ \frac{2}{3}$
Thế vào $(3)$ thì vô lí
Vậy ....
......Không có việc gì là không thể.........
= ====== NVT ====== =
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh