Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi học sinh giỏi 9 ( cấp huyện )


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
Zony Nguyen

Zony Nguyen

    Đốt Lửa

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

Bài 1 : (2đ) 

a, Cho $(x+\sqrt{x^{2}+2010})(y+\sqrt{y^{2}+2010})= 2010$. Tính $x+y$

b, Chứng tỏ : $a= \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ là một nghiệm của phương trình $x^{4}-16x^{2}+32=0$ .

 

Câu 2 :  (2đ)

a, Giải phương trình : $\sqrt[3]{x}+\sqrt{x+3}=3$.

b, Tìm tất cả các góc vuông có độ dài cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi .

 

Câu 3 : (2đ) 

a, Chứng minh rằng trong 7 số tự nhiên bất kì ta luôn chọn được 4 số sao cho tổng của chúng chia hết cho 4 .

b, Cho 3 số thực $x , y ,z$ đều lớn hơn 2 và thỏa mãn : $\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= 1$

CM :  $(x-2)(y-2)(z-2)\leq 1$.

 

Bài 4:(3đ) 

Cho nửa đường tròn đường kính $AB=2a$ . Trên đoạn $AB$ lấy $M$ . Trong nửa mặt phẳng bờ $AB$ chứa nửa đường tròn vẽ hai tia $MX$ , $MY$ sao cho $\widehat{AMx}$ = $\widehat{Mx}= 30^{\circ}$ . Tia $Mx$ cắt nửa đường tròn  tại $E$ , tia $My$ cắt nửa đường tròn tại $F$ . Kẻ $EE'$ 

, $FF'$ vuông góc với $AB$ . 

a, Cho $AM = \frac{a}{2}$ , tính diện tích $EE'F'F$ . 

b, Khi $M$ di động trên $AB$ , tia đối của tia $MF$ cắt đường tròn tại $V$ . Chứng minh : $AV= AE$.

 

Câu 5 : (1đ ) 

Cho $x\geq 2013> 0 $ tìm giá trị nhỏ nhất : $M = \frac{x^{2}+2013y^{2}}{xy}$

 

 

 

 

 

The end _ :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zony Nguyen: 03-11-2013 - 09:02

Chúc anh em luôn vui vẻ ! nhiều sức khỏe ! Nhận nhiều like

#2
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Bài 1 : (2đ) 

a, Cho $(x+\sqrt{x^{2}+2010})(y+\sqrt{y^{2}+2010})= 2010$. Tính $x+y$

b, Chứng tỏ : $a= \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ là một nghiệm của phương trình $x^{4}-16x^{2}+32=0$ .

 

1/ a . Nhân biểu thức liên hợp $x-\sqrt{x^2+2010}$ cho cả 2 vế , ta được :

$(x-\sqrt{x^2+2010})(x+\sqrt{x^2+2010})(y+\sqrt{y^2+2010})=2010(x-\sqrt{x^2+2010})\Leftrightarrow -(y+\sqrt{y^2+2010})=x-\sqrt{x^2+2010}$

Tương tự ta được $-(x+\sqrt{x^2+2010})=y-\sqrt{y^2+2010}$

nên $-(x+y)=x+y$ nên $x+y=0$

b. $a^2=\left (\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}} \right )^2=8-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{\left ( 2+\sqrt{2+\sqrt{3}} \right )\left ( 6-3\sqrt{2+\sqrt{3}} \right )}=8-\sqrt{2}.(\sqrt{3}+1)-2\sqrt{12-3(2+\sqrt{3})}=8-\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)-2\sqrt{6-3\sqrt{3}}=8-\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{6} (\sqrt{3}-1)=8-\sqrt{2}-\sqrt{18}=8-4\sqrt{2}$

Xét phương trình $x^4-16x^2+32=0$ 

Đặt $t=x^2$

thì pt trở thành $t^2-16t+32=0\Leftrightarrow t=x^2=8\underline{+}4\sqrt{2}$

nên ta có đpcm !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 03-11-2013 - 09:20


#3
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Bài 3.A nhé

Lời giải:

Đặt 7 số tự nhiên đó là $A,B,C,D,E,F,G$ Trong 3 số tự nhiên liên tiếp thì luôn có 2 số có tổng của chúng là số chẵn.

Giả sứ trong 7 số có 2 cặp đó là $A,B$ và $D,E$ từ đó suy ra $A+B=2m$ và $D+E=2n$ 

nên $$A+B+C+D=2(m+n)$$

còn lại 3 số $C,G,F$ sẽ 1 cặp có chia hết cho $2$ 

Giả sử đó là $C,G$ thì $C+G=2p$ 

Trong 3 số $m,n,p$  luôn chọn được 2 số có tổng chia hết cho $2$ 

Giả sử $m+n=2q$ thì 

$A+B+C+D= 4q$ chia hết cho $4$ 

Tương tự nếu chọn các nhóm khác ta cũng được như vậy ! 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 03-11-2013 - 09:28


#4
Zony Nguyen

Zony Nguyen

    Đốt Lửa

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

 

Tương tự ta được $-(x+\sqrt{x^2+2010})=y-\sqrt{y^2+2010}$

nên $-(x+y)=x+y$ nên $x+y=0$

 

Mình không hiểu lắm phần này ! 


Chúc anh em luôn vui vẻ ! nhiều sức khỏe ! Nhận nhiều like

#5
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Mình không hiểu lắm phần này ! 

Tương tự tiếp tục nhân cả 2 vế với $y-\sqrt{y^2+2010}$ ta được $-(x+\sqrt{x^2+2010})=y-\sqrt{y^2+2010}$ ta được $-(x+\sqrt{x^2+2010})=y-\sqrt{y^2+2010}$

mà ở trên ta được $-(y+\sqrt{y^2+2010})=x-\sqrt{x^2+2010}$

nên công 2 biểiu thức này lại ta được 

$-(x+\sqrt{x^2+2010})+-(y+\sqrt{y^2+2010})=y-\sqrt{y^2+2010}+x-\sqrt{x^2+2010}\Leftrightarrow -(x+y)=x+y$ 

nên $x+y=0$



#6
letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết

 

 

Câu 2 :  (2đ)

a, Giải phương trình : $\sqrt[3]{x}+\sqrt{x+3}=3$.

b, Tìm tất cả các góc vuông có độ dài cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi .

 

Bài 2 :

a. ĐKXĐ : $x\geq -3$

Đặt : $\sqrt[3]{x}=a;\sqrt{x+3}=b$

Ta có hệ :

$\left\{\begin{matrix} a+b=3 & \\ b^{2}-a^{3}=3 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (3-a)^{2}-a^{3}=3\Rightarrow -a^{3}+a^{2}-6a+6=0\Rightarrow a=1\Rightarrow b=2$

Giải ra ta được $x=2$

b. Đặt $a;b$ là 2 cạnh góc vuông của tam giác cần tìm 

Giả sử : $a\leq b$

$\Rightarrow a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{2}ab\Rightarrow ab-2a-2b=2\sqrt{a^{2}+b^{2}}\Rightarrow a^{2}b^{2}+4a^{2}+4b^{2}-4a^{2}b-4ab^{2}+8ab=4a^{2}+4b^{2}\Rightarrow a^{2}b^{2}-4a^{2}b-4ab^{2}+8ab=0\Rightarrow ab-4a-4b+8=0\Rightarrow (b-4)(a-4)=8$

Do $a;b$ nguyên dương nên ta tìm được $(a;b)=(5;12)$

Vậy độ dài 3 cạnh tam giác cần tìm là $(5;12;13)$


        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#7
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

b, Cho 3 số thực $x , y ,z$ đều lớn hơn 2 và thỏa mãn : $\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= 1$

CM :  $(x-2)(y-2)(z-2)\leq 1$.

 

Ta có : $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 9$

$\Leftrightarrow x+y+z\geq 9$ ( do $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$)

Đặt $x-2=a;y-2=b;z-2=c$

$\Leftrightarrow 3=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

$\Leftrightarrow abc\leq 1$

$\Rightarrow$ ĐPCM



#8
phanha

phanha

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết

2 câu bất đẳng thức dễ quá



#9
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Bài 4:(3đ) 

Cho nửa đường tròn đường kính $AB=2a$ . Trên đoạn $AB$ lấy $M$ . Trong nửa mặt phẳng bờ $AB$ chứa nửa đường tròn vẽ hai tia $MX$ , $MY$ sao cho $\widehat{AMx}$ = $\widehat{Mx}= 30^{\circ}$ . Tia $Mx$ cắt nửa đường tròn  tại $E$ , tia $My$ cắt nửa đường tròn tại $F$ . Kẻ $EE'$ 

, $FF'$ vuông góc với $AB$ . 

a, Cho $AM = \frac{a}{2}$ , tính diện tích $EE'F'F$ . 

b, Khi $M$ di động trên $AB$ , tia đối của tia $MF$ cắt đường tròn tại $V$ . Chứng minh : $AV= AE$.

 

Bạn tự vẽ hình nha!!

a,

+ Gọi trung điểm của $AB$ là $O$. Hạ $OH$ vuông góc với $MF$

Do $\widehat{OMH}=30^{0}\Rightarrow OH=\frac{1}{2}OM=\frac{a}{4}$

$FH=\sqrt{OF^{2}-OH^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}a$

Kéo dài $EE'$ cắt đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ tại $D$

Do $OA$ vuông góc với $ED$ nên $OA$ là đường trung trực của $DE$

$\Rightarrow ME=MD$ và $\widehat{DMA}=\widehat{EMA}=\widehat{FMB}$

$\Rightarrow D,M,F$ thẳng hàng

Do : $OH$ vuông góc với $DF$ $\Rightarrow DF=2HF=\frac{a\sqrt{15}}{2}$

$EE'=\frac{1}{2}ME=\frac{1}{2}MD;FF'=\frac{1}{2}MF$

$\Rightarrow EE'+FF'=\frac{1}{2}(MD+MF)=\frac{1}{2}DF=\frac{a\sqrt{15}}{4}$

Ta có $ME'=EE'\sqrt{3};MF'=FF'\sqrt{3}\Rightarrow E'F'=ME'+MF'=(EE'+FF')\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{5}}{4}a$

Vậy diện tích hình thang vuông $EE'F'F$ là :

$S_{EE'F'F}=\frac{1}{2}(EE'+FF')E'F'=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{15}}{4}a.\frac{3\sqrt{5}}{4}a=\frac{15\sqrt{3}}{32}a^{2}$

b,

Xét các cung nhỏ $\widehat{AE},\widehat{BF}$. Do $A$ là điểm nằm chính giữa cung $\widehat{DAE}$ nên:

Sđ$\widehat{AE}$+Sđ$\widehat{BF}=$ Sđ$\widehat{AD}$+Sđ$\widehat{BF}$=2Sđ$\widehat{FMB}=60^{0}$

$\Rightarrow$ Sđ$\widehat{EF}=120^{0}\Rightarrow \widehat{EOF}=120^{0}$

Hạ $OI$ vuông góc với $EF$ thì : $OI=\frac{1}{2}OF=\frac{a}{2}$ không đổi 

Do đó $EF$ luôn tiếp xúc với đường tròn tâm $O$ bán kính $\frac{a}{2}$ khi $M$ di động trên $AB$



#10
kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết

Ta có : $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 9$

$\Leftrightarrow x+y+z\geq 9$ ( do $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$)

Đặt $x-2=a;y-2=b;z-2=c$

$\Leftrightarrow 3=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

$\Leftrightarrow abc\leq 1$

$\Rightarrow$ ĐPCM

chỗ này nhầm này: $a+b+c\geq 3$ do $x+y+z\geq 9$ chứ không phải a+b+c=3



#11
kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết

Bài 1 : (2đ) 

a, Cho $(x+\sqrt{x^{2}+2010})(y+\sqrt{y^{2}+2010})= 2010$. Tính $x+y$

b, Chứng tỏ : $a= \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ là một nghiệm của phương trình $x^{4}-16x^{2}+32=0$ .

 

Câu 2 :  (2đ)

a, Giải phương trình : $\sqrt[3]{x}+\sqrt{x+3}=3$.

b, Tìm tất cả các góc vuông có độ dài cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi .

 

Câu 3 : (2đ) 

a, Chứng minh rằng trong 7 số tự nhiên bất kì ta luôn chọn được 4 số sao cho tổng của chúng chia hết cho 4 .

b, Cho 3 số thực $x , y ,z$ đều lớn hơn 2 và thỏa mãn : $\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= 1$

CM :  $(x-2)(y-2)(z-2)\leq 1$.

 

Bài 4:(3đ) 

Cho nửa đường tròn đường kính $AB=2a$ . Trên đoạn $AB$ lấy $M$ . Trong nửa mặt phẳng bờ $AB$ chứa nửa đường tròn vẽ hai tia $MX$ , $MY$ sao cho $\widehat{AMx}$ = $\widehat{Mx}= 30^{\circ}$ . Tia $Mx$ cắt nửa đường tròn  tại $E$ , tia $My$ cắt nửa đường tròn tại $F$ . Kẻ $EE'$ 

, $FF'$ vuông góc với $AB$ . 

a, Cho $AM = \frac{a}{2}$ , tính diện tích $EE'F'F$ . 

b, Khi $M$ di động trên $AB$ , tia đối của tia $MF$ cắt đường tròn tại $V$ . Chứng minh : $AV= AE$.

 

Câu 5 : (1đ ) 

Cho $x\geq 2013> 0 $ tìm giá trị nhỏ nhất : $M = \frac{x^{2}+2013y^{2}}{xy}$

 

 

 

 

 

The end _ :icon6:

 

Ta có : $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 9$

$\Leftrightarrow x+y+z\geq 9$ ( do $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$)

Đặt $x-2=a;y-2=b;z-2=c$

$\Leftrightarrow 3=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

$\Leftrightarrow abc\leq 1$

$\Rightarrow$ ĐPCM

bài 3

có $\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$
suy ra $\frac{-2}{x}+ \frac{-2}{y}+\frac{-2}{z}=-2$
tương đương $1+\frac{-2}{x}+1+ \frac{-2}{y}+1+\frac{-2}{z}=1$
suy ra $\frac{x-2}{x}+ \frac{y-2}{y}+\frac{z-2}{z}=1$
có $\frac{x-2}{x}+ \frac{y-2}{y}=1-\frac{z-2}{z}=\frac{2}{z}$
có $\frac{2}{z}\geq 2\sqrt{\frac{(x-2)(y-2)}{xy}}$
suy ra $\frac{\sqrt{xy}}{z}\geq \sqrt{(x-2)(y-2)}$
tương tự, nhân 3 vế vào sẽ ra đpcm 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh