Chủ đề này có 293 trả lời

[buiminhhieu]

đang làm  thì thoát ra tức quá

Cho dãy số $x_1,x_2,x_3,...,x_{n}$ được xác định như sau : $x_1=\frac{1}{2},x_{n+1}=\frac{x_n}{2x_n(n+1)+1}$ với mọi số tự nhiên $n$ $\left ( n>0 \right )$

Tính tổng $S=x_1+x_2+x_3+...+x_{2013}$, và chứng minh công thức tổng quát tính $x_n$ theo $n$

Bài làm:

$S=\frac{2013}{2014}$

Dự đoán CTTQ $x_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$(1)

ta thấy (1 ) đúng với n=2,3 Giả sử (1) đúng với n=k tức là $x_{k}=\frac{1}{k(k+1)}$ta CM (1) đúng với k+1

Ta có $x_{k+1}=\frac{x_{k}}{2.x_{k}(k+1)+1}=\frac{\frac{1}{k(k+1)}}{2.\frac{1}{k(k+1)}.(k+1)+1}=\frac{\frac{1}{k(k+1)}}{\frac{2}{k}+1}=\frac{\frac{1}{k(k+1)}.k}{k+2}=\frac{1}{(k+1)(k+2)}$$\Rightarrow QED$

Vậy $x_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$

[Trang Luong]

Cho dãy số $\left (u_n \right )$ xác định bởi 

$\left\{\begin{matrix} u_1=1\\ u_{n+1}=2u_n-n+1 \end{matrix}\right.$

a) Lập quy trình tính $u_n$. Viêt công thức tính $u_n$ theo $n$

b. Chứng minh rằng : $u_1^3+u_2^3+...+u_n^3$ là số chính phương

[Near Ryuzaki]

Tính giá trị biểu thức sau :

$$\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2009}+\frac{1}{2011}}{\frac{1}{1.2011}+\frac{1}{3.2009}+\frac{1}{5.2007}+...+\frac{1}{2009.3}+\frac{1}{2011.1}}$$

[Near Ryuzaki]

Cho dãy số $\left (u_n \right )$ xác định bởi 

$\left\{\begin{matrix} u_1=1\\ u_{n+1}=2u_n-n+1 \end{matrix}\right.$

a) Lập quy trình tính $u_n$. Viêt công thức tính $u_n$ theo $n$

b. Chứng minh rằng : $u_1^3+u_2^3+...+u_n^3$ là số chính phương

a/ Sử dụng vòng lặp :

$D=D+1:A=2A-D+2$

Calc $D=1,A=1$ để tính từ $u_{2}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 01-01-2014 - 21:07

[buiminhhieu]

Tính giá trị biểu thức sau :

$$\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2009}+\frac{1}{2011}}{\frac{1}{1.2011}+\frac{1}{3.2009}+\frac{1}{5.2007}+...+\frac{1}{2009.3}+\frac{1}{2011.1}}$$

Bài làm:

$\frac{1}{2011.1}=\frac{\frac{1}{2011}+1}{2012};\frac{1}{2009.3}=\frac{\frac{1}{2009}+\frac{1}{3}}{2012};...;$

Tương tự ra được MẪU bằng $\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+..+\frac{1}{2011}}{1006}$

do đó GTBT là 1006(không biết đúng không)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 31-12-2013 - 21:38

[letankhang]

Cho dãy số $\left (u_n \right )$ xác định bởi 

$\left\{\begin{matrix} u_1=1\\ u_{n+1}=2u_n-n+1 \end{matrix}\right.$

a) Lập quy trình tính $u_n$. Viêt công thức tính $u_n$ theo $n$

b. Chứng minh rằng : $u_1^3+u_2^3+...+u_n^3$ là số chính phương

Ta sẽ chứng minh : $u_n=n$
$n=1;2;3$ đúng

Giả sử $n=k$ đúng 
$\Rightarrow u_k=k$
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với $k+1$
$u_{k+1}=2u_k-k+1=2.k-k+1=k+1$

$\Rightarrow Q.E.D$
$\Rightarrow u_1^{3}+u_2^{3}+...+u_n^3=1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=(1+2+3+...+n)^{2}\Rightarrow Q.E.D$

[buitudong1998]

Bài 2: Theo mình thì đề là BP 3 số nguyên liên tiếp

Nhận xét $a_n$ là dãy tăng .Từ GT suy ra:$a_{n+1}^{2}-8a_{n}a_{n+1}+16a_{n}^{2}=15a_{n}^{2}-60$.

Thay n bởi n-1 suy ra:$a_{n}^{2}-8a_{n}a_{n-1}+16a_{n-1}^{2}=15a_{n-1}^{2}-60$

Trừ vế với vế của 2 pt ta được: $(a_{n+1}-a_{n-1})(a_{n+1}-8a_{n}+a_{n-1})=0\rightarrow a_{n+1}-8a_{n}+a_{n-1}=0$

Tìm đươc CTTQ là $a_{n}=(4+\sqrt{15})^{n}+(4-\sqrt{15})^{n}$

Mặt khác với mọi n luôn tồn tại k sao cho :$(4+\sqrt{15})^{n}-(4-\sqrt{15})^{n}=k\sqrt{15}$$\rightarrow (4+\sqrt{15})^{2n}+(4-\sqrt{15})^{2n}=15k^{2}+2\rightarrow a_{2n}=15k^{2}+2$$\rightarrow (4+\sqrt{15})^{2n}+(4-\sqrt{15})^{2n}=15k^{2}+2\rightarrow a_{2n}=15k^{2}+2$

Vậy $\frac{1}{5}(a_{2n}+8)=3k^{2}+2=(k-1)^{2}+k^{2}+(k+1)^{2}$(DPCM)

[Near Ryuzaki]

Cho dãy số $\left (u_n \right )$ xác định bởi 

$\left\{\begin{matrix} u_1=1\\ u_{n+1}=2u_n-n+1 \end{matrix}\right.$

a) Lập quy trình tính $u_n$. Viêt công thức tính $u_n$ theo $n$

b. Chứng minh rằng : $u_1^3+u_2^3+...+u_n^3$ là số chính phương

Công thức tổng quát của $u_{n}$ :

Viết lại dãy số  ta có : $u_{n+1}-2u_{n}=1-n$

Giải phương trình đặc trưng : $\lambda -2=0\Rightarrow \lambda =2$

ta có : $u_{n}={u_{n}}'+{u_{n}}''$

với ${u_{n}}'$ là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất $u_{n+1}-2u_{n}=0$

và ${u_{n}}''$ là nghiệm tùy ý của phương trình không thuần nhất $u_{n+1}-2u_{n}=1-n$

Trước tiên tìm ${u_{n}}'$, giải phương trình đặc trưng của $u_{n+1}-2u_{n}=0$, ta được $\lambda =2$ nên ${u_{n}}'=c.2^{n}$

Sau đó tìm ${u_{n}}''$ như sau : 

${u_{n}}''=n(ax+b)$

Thay vào đề bài , ta được :

$(n+1)[a(n+1)+b]=2n(an+b)-n+1$

Với $n=2$ ta được $A-B=-1$ , $n=3$ ta được $-2A-2B=-2$

từ đó suy ra $A=0,B=1$

nên  ${u_{n}}''=n$

Vậy $u_{n}=c.2^{n}+n$ mà vì $u_{1}=1$ nên $c=0 \Rightarrow u_{n}=n$ 
@Khang : sửa lại rồi đây !!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 01-01-2014 - 09:28

[letankhang]

Công thức tổng quát của $u_{n}$ :

Viết lại dãy số  ta có : $u_{n+1}-2u_{n}=1-n$

Giải phương trình đặc trưng : $\lambda -2=0\Rightarrow \lambda =2$

ta có : $u_{n}=$u_{n}_{1}+u_{n}_{2}$

với $u_{n}_{1}$ là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất $u_{n+1}-2u_{n}=0$

và $u_{n}_{2}$ là nghiệm tùy ý của phương trình không thuần nhất $u_{n+1}-2u_{n}=1-n$

Trước tiên tìm $u_{n}_{1}$, giải phương trình đặc trưng của $u_{n+1}-2u_{n}=0$, ta được $\lambda =2$ nên $u_{n}_{1}=\frac{1}{2}.2^{n}$

Sau đó tìm $u_{n}_{2}$ như sau : 

$u_{n}_{2}=n(ax+b)$

Thay vào đề bài , ta được :

$(n+1)[a(n+1)+b]=2n(an+b)-n+1$

Với $n=2$ ta được $A-B=-1$ , $n=3$ ta được $-2A-2B=-2$

từ đó suy ra $A=0,B=1$

nên  $u_{n}_{2}=n$

Vậy $u_{n}=\frac{1}{2}.2^{n}+n$
P/s : cách làm thì đúng đó , ai kiểm tra lại giúp , ko có nháp với máy tính 

Sai rồi, kết quả cuối phải là : $u_n=n$ !!

[Phat Nguyen]

1.Viết các số chính phương $1^{2};2^{2};3^{2};...;2012^{2}$ ta được số D=1491625...4048144 
a) Tìm số chữ số của D
b) Tìm số dư trong phép chia D cho 9
2.Tìm số chữ số của $2011^{2012}$

3.Tìm 4 chữ số cuối của $5^{2013}$
Các anh giúp em nhé !!!
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phat Nguyen: 01-01-2014 - 09:04

[4869msnssk]

1.Viết các số chính phương $1^{2};2^{2};3^{2};...;2012^{2}$ ta được số D=1491625...4048144 
a) Tìm số chữ số của D

 

chỗ này cũng ko chắc lắm mấy lị hơi dài, nhưng thôi ko sao cứ thử vậy.

ta thấy $4^{2}$ 2chữ số tới $10^{2}$  có 3 chữ số tới $32^{2}$ có 4 chữ số ...

cứ như vậy tới $1000^{2}$ thì có 7 chữ số. sau đó ta tính số các số mà bình phương có 1, 2, 3 chữ số rồi cộng vào

p/s cách này thủ công quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 4869msnssk: 01-01-2014 - 09:20

[buiminhhieu]

1.Viết các số chính phương $1^{2};2^{2};3^{2};...;2012^{2}$ ta được số D=1491625...4048144 
a) Tìm số chữ số của D
b) Tìm số dư trong phép chia D cho 9
2.Tìm số chữ số của $2011^{2012}$

3.Tìm 4 chữ số cuối của $5^{2013}$
Các anh giúp em nhé !!!
 

1)

a,Tứ 1 đến 3 là có 1 c/s

4 đến 9 có 2 c/s

 10 đến 31 có 3 c/s

32 đến 99 có 4 c/s

100 đến 316 có 5 c/s

317 đến 999 có 6 c/s

1000 đến 2012 có 7 c/s(tất cả từ các bình phương nhế)

vâỵ D có 12627 cs

b,Ta có $\sum_{i=1}^{2012}x_{i}^{2}=2716979650\equiv 7(mod9)$

[letankhang]

2.Tìm số chữ số của $2011^{2012}$

3.Tìm 4 chữ số cuối của $5^{2013}$
Các anh giúp em nhé !!!
 

2. $\log(2011).2012=6646,465086$
Suy ra số chữ số là $6647$
3. Ta  có :

$5^{20k}\equiv 0625(\mod 10000)$
Mà : $2013\equiv 13(\mod 20)$
$\Rightarrow 5^{2013}\equiv 625.3125\equiv 3125(\mod 10000)$

[4869msnssk]

cmr $1,71<1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}<1,72$ với n là số nguyên lớn hơn 5

[buiminhhieu]

cmr $1,71<1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}<1,72$ với n là số nguyên lớn hơn 5

Bài làm:

Ta có

Ý 1: $n>5\Rightarrow 1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}>1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}>1,7166666667>1,71$

Ý 2: $n>5\Rightarrow 1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}=(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!})+\frac{1}{6!}+..+\frac{1}{n!}=\frac{103}{60}+\frac{1}{6!}+..+\frac{1}{n!}$

Ta chứng minh $\frac{1}{6!}+..+\frac{1}{n!}<1,72-\frac{103}{60}=\frac{1}{300}$

Thật vậy

$\frac{1}{6!}+..+\frac{1}{n!}=\frac{1}{6!}(1+\frac{1}{7}+...+\frac{1}{7.8....n})<\frac{1}{720}.(1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7.8}+\frac{1}{8.9}+...+\frac{1}{(n-1)n})=\frac{1}{720}.(1+\frac{2}{7}-\frac{1}{n})$

$<\frac{1}{720}.(1+\frac{2}{7})=\frac{1}{560}<\frac{1}{300}$

Vậy $1,71<1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}<1,72$

[buiminhhieu]

Bài...:

Cho dãy truy hồi

$a_{n+2}=3a_{n+1}-a_{n}+2$ với $a_{0}=0,a_{1}=1$

Chứng minh $a_{2k+1}$ là số chính phương

[phuocdinh1999]

Cho $8$ số $1,2,3,4,5,6,7,8$

Hỏi có bao nhiêu số có $8$ chữ số khác nhau được lập từ các số trên và chia hết cho $1111$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocdinh1999: 01-01-2014 - 17:25

[nghiemthanhbach]

Cho $8$ số $1,2,3,4,5,6,7,8$

Hỏi có bao nhiêu số có $8$ chữ số khác nhau được lập từ các số trên và chia hết cho $1111$

Bạn ơi, bạn hỏi tổ hợp thì sao tụi mình giải được, đây là nơi ôm thi MTBT mà?

[Phat Nguyen]

1)

a,Tứ 1 đến 3 là có 1 c/s

4 đến 9 có 2 c/s

 10 đến 31 có 3 c/s

32 đến 99 có 4 c/s

100 đến 316 có 5 c/s

317 đến 999 có 6 c/s

1000 đến 2012 có 7 c/s(tất cả từ các bình phương nhế)

vâỵ D có 12627 cs

b,Ta có $\sum_{i=1}^{2012}x_{i}^{2}=2716979650\equiv 7(mod9)$

cách giải ở câu a mình giải đc rồi ^^ cho mình hỏi có cách nào bớt thủ công hơn ko???
còn câu b số D là số viết liền lại chứ đâu phải tổng mà bạn dùng sum :/

[Mangekyo]

Mọi ng cho mình hỏi cho tứ giác nội tiếp vs sđ 4 cạnh thì có cách nào tính đk bán kính đường tròn nội tiếp và diện tích của nó không ???