đang làm thì thoát ra tức quá
Cho dãy số $x_1,x_2,x_3,...,x_{n}$ được xác định như sau : $x_1=\frac{1}{2},x_{n+1}=\frac{x_n}{2x_n(n+1)+1}$ với mọi số tự nhiên $n$ $\left ( n>0 \right )$
Tính tổng $S=x_1+x_2+x_3+...+x_{2013}$, và chứng minh công thức tổng quát tính $x_n$ theo $n$
Bài làm:
$S=\frac{2013}{2014}$
Dự đoán CTTQ $x_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$(1)
ta thấy (1 ) đúng với n=2,3 Giả sử (1) đúng với n=k tức là $x_{k}=\frac{1}{k(k+1)}$ta CM (1) đúng với k+1
Ta có $x_{k+1}=\frac{x_{k}}{2.x_{k}(k+1)+1}=\frac{\frac{1}{k(k+1)}}{2.\frac{1}{k(k+1)}.(k+1)+1}=\frac{\frac{1}{k(k+1)}}{\frac{2}{k}+1}=\frac{\frac{1}{k(k+1)}.k}{k+2}=\frac{1}{(k+1)(k+2)}$$\Rightarrow QED$
Vậy $x_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$