Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $a^{2}+b^{2}\leqslant 1+ab$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
EvaristeGaloa

EvaristeGaloa

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Cho $a,b>0$ và $a^{5}+b^{5}=a^{3}+b^{3}$. CMR: $a^{2}+b^{2}\leqslant 1+ab$



#2
NgMinh7c3

NgMinh7c3

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

vì$a^{5}+b^{5}= a^{3}+b^{3}$

nếu a, b khác 0$\Rightarrow$vô lí

$\Rightarrow$ a=b=0

thay a=o vào $a^{2}+b^{2}$ ta có:
$0^{2}+0^{2}=0> 1+0$ hay $a^{2}+b^{2}=0> 1+ab$(đpcm)

--------------------------------------------------------------------------

đúng thì like, tks ~O)


:icon12: ReMeMbEr: I /_()$\sqrt{E}$ 4ever :icon12: 

 

 


#3
EvaristeGaloa

EvaristeGaloa

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

vì$a^{5}+b^{5}= a^{3}+b^{3}$

nếu a, b khác 0$\Rightarrow$vô lí

$\Rightarrow$ a=b=0

thay a=o vào $a^{2}+b^{2}$ ta có:
$0^{2}+0^{2}=0> 1+0$ hay $a^{2}+b^{2}=0> 1+ab$(đpcm)

--------------------------------------------------------------------------

đúng thì like, tks ~O)

Vẫn tồn tại a=-1;b=1 thỏa a5+b5=a3+b3


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi EvaristeGaloa: 03-11-2013 - 19:06


#4
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

 

Vẫn tồn tại a=-1;b=1 thỏa a5+b5=a3+b3

 

 


điều kiện là a,b>0 mà bạn



#5
arsenal20101998

arsenal20101998

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

BĐT cân cm tương đương

$(a^3+b^3)(a^2+b^2)\leq (1+ab)(a^5+b^5)\Leftrightarrow ab(a^5+b^5)\geq a^2b^2(a+b)\Leftrightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0$ 

(luôn đúng)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsenal20101998: 03-11-2013 - 19:13


#6
EvaristeGaloa

EvaristeGaloa

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

 

điều kiện là a,b>0 mà bạn

 

thk m` nhầm



#7
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

vì$a^{5}+b^{5}= a^{3}+b^{3}$

nếu a, b khác 0$\Rightarrow$vô lí

$\Rightarrow$ a=b=0

thay a=o vào $a^{2}+b^{2}$ ta có:
$0^{2}+0^{2}=0> 1+0$ hay $a^{2}+b^{2}=0> 1+ab$(đpcm)

--------------------------------------------------------------------------

đúng thì like, tks ~O)

 

 

điều kiện là a,b>0 mà bạn

 

 

Vẫn tồn tại a=-1;b=1 thỏa a5+b5=a3+b3

$a=b=1$ cũng đúng mà



#8
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Cho $a,b>0$ và $a^{5}+b^{5}=a^{3}+b^{3}$. CMR: $a^{2}+b^{2}\leqslant 1+ab$

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow a^{2}-ab+b^{2}\leq 1$

$\Leftrightarrow (a^{3}+b^{3})(a^{2}-ab+b^{2})\leq a^{5}+b^{5}$

$\Leftrightarrow a^{4}b+ab^{4}\geq a^{3}b^{2}+a^{2}b^{3}$

$\Leftrightarrow ab(a+b)(a-b)^{2}\geq 0$ (Đúng)

Vậy ta có ĐPCM



#9
datcoi961999

datcoi961999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 263 Bài viết

Cho $a,b>0$ và $a^{5}+b^{5}=a^{3}+b^{3}$. CMR: $a^{2}+b^{2}\leqslant 1+ab$

BĐT<=>$a^2+b^2-ab\leq 1<=>a^3+b^3\leq a+b<=>(a^3+b^3)(a^3+b^3)\leq (a+b)(a^{5}+b^{5})<=>2a^3b^3\leq a^{5}b+ab^{5}(*)$  

ta dễ dàng CM được (*) luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy=>đpcm


                 :dislike    :off: ZION   :off:  :like                                                                                     98efb2f1bfc2432fa006b3d7d9f1f655.0.gif

                                                    





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh