Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=$\frac{xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}}{(xy+yz+zx)^{2}}$ trong đó các giá trị x, y, z thoả mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$
Tìm GTNN P=$\frac{xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}}{(xy+yz+zx)^{2}}$
Bắt đầu bởi haianhngobg, 04-11-2013 - 04:12
#1
Đã gửi 04-11-2013 - 04:12
#2
Đã gửi 04-11-2013 - 12:57
áp dụng bđt cauchy-schwar ta có
$(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})(x+y+z)\geq xy+yz+xz$
suy ra $P\geq \frac{xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}}{(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})(x+y+z)}= \frac{1}{x+y+z}$ (1)
ta có
$2x\leq x^{2}+1$
$2y\leq y^{2}+1$
$2z\leq z^{2}+1$
suy ra x+y+z$\leq 3$ (2)
từ (1)(2) suy ra MinP=$\frac{1}{3}$
dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 04-11-2013 - 12:57
- haianhngobg và leduylinh1998 thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh