Chủ đề này có 11 trả lời

[Dam Uoc Mo]

Cho a,b,c $\geq$ 0 thỏa mãn a+b+c=1
tìm min,max: A=(ab+1)² + (bc+1)² +(ac+1)²


Cho a,b,c thỏa mãn abc=1.
(a-1+$\frac{1}{b}$)(b-1+$\frac{1}{c}$)(c-1+$\frac{1}{a}$)
Mọi người thử dùng điều kiện 3 số dương trước,rồi về sau thử xem nếu ko dương có đc ko,nhg em cần nhất vẫn là cái chỗ 3 số dương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-11-2013 - 22:30

[Hoang Tung 126]

Ta có :$A=(ab+1)^2+(bc+1)^2+(ac+1)^2\geq 1^2+1^2+1^2=3$(Do $a,b,c\geq 0= > ab\geq 0,bc\geq 0,ac\geq 0$)
$= > A$ Min = 3 $< = > ab=bc=ac=0<= > a=b=0,c=1$


Thay $abc=1$ vào biểu thức cần CM .Ta có :
$A=(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})=(a-1+ac)(b-1+ab)(c-1+bc)=ab+bc+ac-a^2b-b^2c-c^2a+a+b+c-2$
Ta sẽ CM : $A\leq 1< = > a^2b+b^2c+c^2a+3\geq ab+bc+ac+a+b+c$(1)
Do $abc=1$ nên tồn tại các số thỏa mãn :$a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$(2)
Thay (2) vào (1) .BĐT cần CM $< = > \frac{x^2}{y^2}.\frac{y}{z}+\frac{y^2}{z^2}.\frac{z}{x}+\frac{z^2}{x^2}.\frac{x}{y}+3\geq \frac{x}{y}.\frac{y}{z}+\frac{y}{z}.\frac{z}{x}+\frac{z}{x}.\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}< = > x^3+y^3+z^3+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)$(đúng vì đây là bất đẳng thức Schur bậc 3)
$= > A$ Max= 1 khi a=b=c=1

[Dam Uoc Mo]

Thay $abc=1$ vào biểu thức cần CM .Ta có :

 $A=(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})=(a-1+ac)(b-1+ab)(c-1+bc)=ab+bc+ac-a^2b-b^2c-c^2a+a+b+c-2$

Ta sẽ CM : $A\leq 1< = > a^2b+b^2c+c^2a+3\geq ab+bc+ac+a+b+c$(1)

Do $abc=1$ nên tồn tại các số thỏa mãn :$a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$(2)

Thay (2) vào (1) .BĐT cần CM $< = > \frac{x^2}{y^2}.\frac{y}{z}+\frac{y^2}{z^2}.\frac{z}{x}+\frac{z^2}{x^2}.\frac{x}{y}+3\geq \frac{x}{y}.\frac{y}{z}+\frac{y}{z}.\frac{z}{x}+\frac{z}{x}.\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}< = > x^3+y^3+z^3+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)$(đúng vì đây là bất đẳng thức Schur bậc 3) 

$= > A$ Max= 1 khi a=b=c=1

Anh ơi,có cách lớp 9 chỉ dùng bđt đơn giản ko ạ?Schur cm ko khó nhg vẫn phải cm lại. :/

[Hoang Tung 126]

Anh ơi,có cách lớp 9 chỉ dùng bđt đơn giản ko ạ?Schur cm ko khó nhg vẫn phải cm lại. :/

Thế thì dùng bdt tam giác là $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

[Dam Uoc Mo]

Thế thì dùng bdt tam giác là $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

Cái bđt này mà áp dụng,để đc như cái mình cần,thì nhân hết ra ạ?

[Hoang Tung 126]

Cái bđt này mà áp dụng,để đc như cái mình cần,thì nhân hết ra ạ?

Không cần đâu ta có :$(a+b-c)(b+c-a)=b^2-(a-c)^2\leq b^2$.Các cái kia tương tự rồi nhân lại

[Dam Uoc Mo]

Ta có :$A=(ab+1)^2+(bc+1)^2+(ac+1)^2\geq 1^2+1^2+1^2=3$(Do $a,b,c\geq 0= > ab\geq 0,bc\geq 0,ac\geq 0$)

$= > A$ Min = 3 $< = > ab=bc=ac=0<= > a=b=0,c=1$

Max ấy ạ?Có phải khi a=b=c đúng ko ạ?Nhg cách làm ntn ạ?

[Hoang Tung 126]

Max ấy ạ?Có phải khi a=b=c đúng ko ạ?Nhg cách làm ntn ạ?

uhm

[Dam Uoc Mo]

uhm

Anh có cách ko?em cũng đang nghĩ.

[Dam Uoc Mo]

 

À ko,ý em muốn hỏi áp dụng vào bài ntn ấy?

[phamphucat]

À ko,ý em muốn hỏi áp dụng vào bài ntn ấy?

Ta viết lại BĐT của "ảnh" cho dễ thay nhé!

$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) \leq xyz$. Ta thay: $x=a, y=\frac{1}{b}, z=1$ thì

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (1+ \frac{1}{b}-a \right )\left ( 1+a-\frac{1}{b} \right )\leq \frac{a}{b}$

Chia cả 2 vế cho $\frac{a}{b}$ ta được:

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (1+ \frac{1}{b}-a \right )b\left ( 1+a-\frac{1}{b} \right )\frac{1}{a}\leq 1$

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (1+ \frac{1}{b}-a \right )\frac{1}{a}\left ( 1+a-\frac{1}{b} \right )b\leq 1$

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}-1 \right )\left ( b+ab-1 \right )\leq 1$

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (b-1+\frac{1}{c} \right )\left ( c-1+\frac{1}{a} \right )\leq 1$ (Do $abc=1$)

Suy ra đpcm nhé

[Dam Uoc Mo]

Ta viết lại BĐT của "ảnh" cho dễ thay nhé!

$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) \leq xyz$. Ta thay: $x=a, y=\frac{1}{b}, z=1$ thì

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (1+ \frac{1}{b}-a \right )\left ( 1+a-\frac{1}{b} \right )\leq \frac{a}{b}$

Chia cả 2 vế cho $\frac{a}{b}$ ta được:

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (1+ \frac{1}{b}-a \right )b\left ( 1+a-\frac{1}{b} \right )\frac{1}{a}\leq 1$

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (1+ \frac{1}{b}-a \right )\frac{1}{a}\left ( 1+a-\frac{1}{b} \right )b\leq 1$

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}-1 \right )\left ( b+ab-1 \right )\leq 1$

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (b-1+\frac{1}{c} \right )\left ( c-1+\frac{1}{a} \right )\leq 1$ (Do $abc=1$)

Suy ra đpcm nhé

À,bài này ấy ạ,mi=3,max=1 ạ?em thấy sao sao?