Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a+b}{\sqrt{a+b-c}} \geq 6$

cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
Dam Uoc Mo

Dam Uoc Mo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a2 + b2 +c2 =3
C/m:
a,$\frac{a+b}{\sqrt{a+b-c}}$  +   $\frac{b+c}{\sqrt{b+c-a}}$  +     $\frac{c+a}{\sqrt{c+a-b}}$ $\geq$ 6
b, $\frac{a}{\sqrt{b+c-a}}$  +     $\frac{b}{\sqrt{a+c-b}}$   +      $\frac{c}{\sqrt{a+b-c}}$  $\geq$ 3

Bài này còn cho thêm điều kiện là a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác,nhg em nghĩ ko cần,mọi người nhỉ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-11-2013 - 22:16

Batman: Anh hùng có thể là bất kì ai. Thậm chí là một người đàn ông với một hành động đơn giản như đặt lên vai một cậu bé chiếc áo khoác một cách an toàn, để cho cậu ấy biết rằng thế giới vẫn chưa đi tới hồi kết. – The Dark Knight Rises.

 

 

http://news.go.vn/di...m-nguoi-doi.htm


#2
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a2 + b2 +c2 =3
C/m:
a,$\frac{a+b}{\sqrt{a+b-c}}$  +   $\frac{b+c}{\sqrt{b+c-a}}$  +     $\frac{c+a}{\sqrt{c+a-b}}$ $\geq$ 6
b, $\frac{a}{\sqrt{b+c-a}}$  +     $\frac{b}{\sqrt{a+c-b}}$   +      $\frac{c}{\sqrt{a+b-c}}$  $\geq$ 3

Bài này còn cho thêm điều kiện là a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác,nhg em nghĩ ko cần,mọi người nhỉ?

Có ĐK là cạnh của tam giác thì các biểu thức trong căn mới tồn tại được.

Ý b mình làm ra VT $\geq \sum \sqrt{a}$(1). Bạn áp dụng ĐK chứng minh tiếp.

$\frac{a}{\sqrt{b+c-a}}+\sqrt{b+c-a}\geq 2\sqrt{a}$

cmtt...

=>VT$\geq \sum 2\sqrt{a}-\sum \sqrt{b+c-a}$

Áp dụng bđt: $\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \sqrt{2x+2y}$

=>$\sum \sqrt{b+c-a}\leq \sum \sqrt{a}$

=>(1)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 04-11-2013 - 18:06


#3
Dam Uoc Mo

Dam Uoc Mo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

Có ĐK là cạnh của tam giác thì các biểu thức trong căn mới tồn tại được.

Ý b mình làm ra VT $\geq \sum \sqrt{a}$(1). Bạn áp dụng ĐK chứng minh tiếp.

$\frac{a}{\sqrt{b+c-a}}+\sqrt{b+c-a}\geq 2\sqrt{a}$

cmtt...

=>VT$\geq \sum 2\sqrt{a}-\sum \sqrt{b+c-a}$

Áp dụng bđt: $\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \sqrt{2x+2y}$

=>$\sum \sqrt{b+c-a}\leq \sum \sqrt{a}$

=>(1)

Em cảm ơn ạ.Nhg em cần ý b.


Batman: Anh hùng có thể là bất kì ai. Thậm chí là một người đàn ông với một hành động đơn giản như đặt lên vai một cậu bé chiếc áo khoác một cách an toàn, để cho cậu ấy biết rằng thế giới vẫn chưa đi tới hồi kết. – The Dark Knight Rises.

 

 

http://news.go.vn/di...m-nguoi-doi.htm


#4
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

Em cảm ơn ạ.Nhg em cần ý b.

ý b đấy?



#5
Dam Uoc Mo

Dam Uoc Mo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

à nhầm,em cần ý a anh ơi.

_________

Chiếm đất tý: Ý a,b như nhau mà. Xây dựng BĐT ý B áy


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Dang Do: 13-11-2013 - 18:19

Batman: Anh hùng có thể là bất kì ai. Thậm chí là một người đàn ông với một hành động đơn giản như đặt lên vai một cậu bé chiếc áo khoác một cách an toàn, để cho cậu ấy biết rằng thế giới vẫn chưa đi tới hồi kết. – The Dark Knight Rises.

 

 

http://news.go.vn/di...m-nguoi-doi.htm


#6
hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết

Có ĐK là cạnh của tam giác thì các biểu thức trong căn mới tồn tại được.

Ý b mình làm ra VT $\geq \sum \sqrt{a}$(1). Bạn áp dụng ĐK chứng minh tiếp.

$\frac{a}{\sqrt{b+c-a}}+\sqrt{b+c-a}\geq 2\sqrt{a}$

cmtt...

=>VT$\geq \sum 2\sqrt{a}-\sum \sqrt{b+c-a}$

Áp dụng bđt: $\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \sqrt{2x+2y}$

=>$\sum \sqrt{b+c-a}\leq \sum \sqrt{a}$

=>(1)

Bạn làm tiếp được không ạ, vì thực ra thì từ điều kiện làm sao mà ra được.

Bởi vì $\sum \sqrt{a} \le \sum a^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtubatu955: 13-11-2013 - 17:43


#7
Dung Dang Do

Dung Dang Do

    Dũng Dang Dở

  • Thành viên
  • 524 Bài viết

Bạn làm tiếp được không ạ, vì thực ra thì từ điều kiện làm sao mà ra được.

Bởi vì $\sum \sqrt{a} \le \sum a^2$

$$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le \sqrt{\frac{x+y}{2}}+\sqrt{\frac{z+y}{2}}+\sqrt{\frac{x+z}{2}}$$

Lại có theo BĐT $\text{CauChy-Schwarzt}$ ta có

$$2(x+y)\ge (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\to \frac{x+y}{2}\ge \frac{\left (\sqrt{x}+\sqrt{y}  \right )^2}{4}\to \sqrt{\frac{x+y}{2}}\ge \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}$$

3 lần như vầy là ra :))

Đúng k nhở???

_______

TKVN


@@@@@@@@@@@@

#8
Dung Dang Do

Dung Dang Do

    Dũng Dang Dở

  • Thành viên
  • 524 Bài viết

Mấy bài này nên cho giả thiết a+b+c=3 có vẻ hay hơn đó


@@@@@@@@@@@@

#9
hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết

$$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le \sqrt{\frac{x+y}{2}}+\sqrt{\frac{z+y}{2}}+\sqrt{\frac{x+z}{2}}$$

Lại có theo BĐT $\text{CauChy-Schwarzt}$ ta có

$$2(x+y)\ge (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\to \frac{x+y}{2}\ge \frac{\left (\sqrt{x}+\sqrt{y}  \right )^2}{4}\to \sqrt{\frac{x+y}{2}}\ge \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}$$

3 lần như vầy là ra :))

Đúng k nhở???

_______

TKVN

BĐT này thì đúng rồi. tuy nhiên để có min thì hiển nhiên nó ngược dấu mất rồi.



#10
Dung Dang Do

Dung Dang Do

    Dũng Dang Dở

  • Thành viên
  • 524 Bài viết

Ko để ý cách giải của tác giả. TKVN chỉ để ý thắc mắc của thế thôi =))

 

BĐT này thì đúng rồi. tuy nhiên để có min thì hiển nhiên nó ngược dấu mất rồi.


@@@@@@@@@@@@

#11
Dung Dang Do

Dung Dang Do

    Dũng Dang Dở

  • Thành viên
  • 524 Bài viết

BĐT này thì đúng rồi. tuy nhiên để có min thì hiển nhiên nó ngược dấu mất rồi.

 Chả phải từ BĐT tớ nói thì 

$$\sum \sqrt{a+b-c}\le \sum \sqrt{a} \to 2\sum \sqrt{a}-\sum \sqrt{a+b-c}\ge 2\sum \sqrt{a}-\sum \sqrt{a}=\sum \sqrt{a}$$


@@@@@@@@@@@@

#12
hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết

 Chả phải từ BĐT tớ nói thì 

$$\sum \sqrt{a+b-c}\le \sum \sqrt{a} \to 2\sum \sqrt{a}-\sum \sqrt{a+b-c}\ge 2\sum \sqrt{a}-\sum \sqrt{a}=\sum \sqrt{a}$$

Đề là yêu cầu tìm min nhé, lạc đề to rồi







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: cực trị

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh