Chủ đề này có 2 trả lời

[donghaidhtt]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                               KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

          THỪA THIÊN HUẾ                           KHỐI 12 THPT CHUYÊN _ NĂM HỌC 2013-2014

          ĐỀ CHÍNH THỨC                                               Môn: TOÁN CHUYÊN

                                                                                   Thời gian làm bài: 180 phút

                                                                                    (không kể thời gian giao đề)      

 

 

BÀI 1: (5 điểm) 

          Cho 3 điểm phân biệt $A,B,C$ thẳng hàng với $B$ nằm giữa $A$ và $C$. Đường tròn $(T)$ thay đổi và đi qua 2 điểm $B,C$. Gọi $T$ và $T^{'}$ hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến của $(T)$ vẽ từ $A$. $M$ là trọng tâm tam giác $ATT^{'}$. Tìm $(T)$ để $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.

BÀI 2: (5 điểm)

          Tìm dãy số $(U_{n})$, $n\in \mathbb{N}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

i/ $u_{0}=503,25$ và $u_{n}>0$

ii/ $\forall n\in \mathbb{N}, u_{n+1}\leq u_{n}$

iii/ $\forall n\in \mathbb{N^{*}}, \sum_{k=1}^{n}\frac{u_{k-1}^{2}}{u_{k}}<2013$

BÀI 3: (5 điểm)

          Cho $n$ là số nguyên dương chẵn, $a$ là số nguyên dương sao cho $a$ có đúng $n^2$ ước số lớn hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại $m\in \mathbb{N^*},a=m^4$

BÀI 4: (5 điểm)

          Tập hợp các điểm của mặt phẳng được phân hoạch thành 3 tập hợp $A,B,C$ khác rỗng đôi một không có điểm chung.

Chứng minh rằng tồn tại một tập hợp trong 3 tập hợp $A,B,C$ chứa 3 điểm là 3 đỉnh của một tam giác sao cho tam giác đó là tam giác cân hoặc tam giác đó có số đo 3 góc tạo thành một cấp số nhân.

                                     

                                                 -------------------------Hết---------------------------

                                                    Giám thi coi thi không giải thích gì thêm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 06-11-2013 - 11:40

[BlackSelena]

BÀI 3: (5 điểm)

          Cho $n$ là số nguyên dương chẵn, $a$ là số nguyên dương sao cho $a$ có đúng $n^2$ ước số lớn hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại $m\in \mathbb{N^*},a=m^4$

Viết số $a$ dưới dạng chính tắc là $\prod p_i^{a_i}$. Ta chỉ cần chứng minh $a_i \vdots 4 \ \forall i$

Ta có số ước nguyên dương khác 1 của $a$ là $\prod (a_i +1) - 1 = n^2$

$\Rightarrow \prod (a_i + 1) = n^2 + 1$

Do $n$ chẵn nên $\prod (a_i + 1)$ lẻ, dẫn đến $a_i$ chẵn với mọi $i$

Giờ nếu $a_i$ có dạng $4k+2$ thì $n^2 + 1$ phải có ước nguyên tố $p = 4k+3$, dễ thấy vô lý.
Vậy $a_i \vdots 4 \ \forall i \square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 07-11-2013 - 20:01

[nntien]

Bài 1:

Gọi K là giao điểm của TT' với BC. Vì T, T' thuộc (A,AT) và AT không đổi nên K là tâm đẳng phương của (A,AT) và (T).

Suy ra K cố định. Gọi O là tâm của (T).

=> AO vuông góc với TK. Qua M kẻ đường thẳng // TT' cắt AC tại L => $\frac{AL}{AK}=\frac{2}{3}$

=> L cố định và AM vuông góc với ML => M thuộc đường tròn đường kính AL.

I là trung điểm BC, trên AC lấy điểm G sao cho:  $\frac{AG}{AI}=\frac{2}{3}$, (G là trọng tâm của 3 điểm A,B,C)

Mặt khác theo định lý Leibnitz ta có:

$MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2$

=> Tìm Min, Max của $MA^2+MB^2+MC^2$ tương đương tìm Min, Max của GM vì A,B,C,G là các điểm cố định.

Dễ thấy GM đạt Min khi M trùng L, đạt Max khi M trùng A => (T) suy biến thành đường thẳng AC.