Chủ đề này có 4 trả lời

[Tran Hoai Nghia]

Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:R\rightarrow R$ thỏa: $f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y))\forall x,y\in R$

[N H Tu prince]

Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:R\rightarrow R$ thỏa: $f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y))\forall x,y\in R$

$x=y=0\Rightarrow f(0)=0$

$y:=-y\Rightarrow f(x)=f(-x)$

$x=y\Rightarrow f(2x)=4f(x)$

Đặt $f(x)=g(x).x^2$

$\Rightarrow g(2x)=g(x)$

$f$ liên tục $\Rightarrow g$ liên tục

$\Rightarrow g(2x)=g(x)=g\left(\frac{x}{2} \right)=...=g\left(\frac{x}{2^n} \right)$

$n\rightarrow +\infty\Rightarrow \frac{x}{2^n}\rightarrow 0$

$\Rightarrow g(x)=g(0)=c=const$

$\Rightarrow f(x)=cx^2$

[namcpnh]

$x=y=0\Rightarrow f(0)=0$

$y:=-y\Rightarrow f(x)=f(-x)$

$x=y\Rightarrow f(2x)=4f(x)$

Đặt $f(x)=g(x).x^2$

$\Rightarrow g(2x)=g(x)$

$f$ liên tục $\Rightarrow g$ liên tục

$\Rightarrow g(2x)=g(x)=g\left(\frac{x}{2} \right)=...=g\left(\frac{x}{2^n} \right)$

$n\rightarrow +\infty\Rightarrow \frac{x}{2^n}\rightarrow 0$

$\Rightarrow g(x)=g(0)=c=const$

$\Rightarrow f(x)=cx^2$

 

Hình như $g$ gián đoạn tại $0$ mà.

[HazZ]

thế có ai làm cách khác được ko nhỉ

[HazZ]

mà làm sao bt hàm f(x) có nhiệm là x² mà đặt nhỉ

đặt là tự coi x khác 0 thì phải