Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:R\rightarrow R$ thỏa: $f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y))\forall x,y\in R$
$f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y))\forall x,y\in R$
#1
Đã gửi 06-11-2013 - 12:48
#2
Đã gửi 07-11-2013 - 21:56
Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:R\rightarrow R$ thỏa: $f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y))\forall x,y\in R$
$x=y=0\Rightarrow f(0)=0$
$y:=-y\Rightarrow f(x)=f(-x)$
$x=y\Rightarrow f(2x)=4f(x)$
Đặt $f(x)=g(x).x^2$
$\Rightarrow g(2x)=g(x)$
$f$ liên tục $\Rightarrow g$ liên tục
$\Rightarrow g(2x)=g(x)=g\left(\frac{x}{2} \right)=...=g\left(\frac{x}{2^n} \right)$
$n\rightarrow +\infty\Rightarrow \frac{x}{2^n}\rightarrow 0$
$\Rightarrow g(x)=g(0)=c=const$
$\Rightarrow f(x)=cx^2$
- HazZ yêu thích
#3
Đã gửi 08-11-2013 - 11:57
$x=y=0\Rightarrow f(0)=0$
$y:=-y\Rightarrow f(x)=f(-x)$
$x=y\Rightarrow f(2x)=4f(x)$
Đặt $f(x)=g(x).x^2$
$\Rightarrow g(2x)=g(x)$
$f$ liên tục $\Rightarrow g$ liên tục
$\Rightarrow g(2x)=g(x)=g\left(\frac{x}{2} \right)=...=g\left(\frac{x}{2^n} \right)$
$n\rightarrow +\infty\Rightarrow \frac{x}{2^n}\rightarrow 0$
$\Rightarrow g(x)=g(0)=c=const$
$\Rightarrow f(x)=cx^2$
Hình như $g$ gián đoạn tại $0$ mà.
- N H Tu prince và HazZ thích
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#4
Đã gửi 07-02-2014 - 00:24
thế có ai làm cách khác được ko nhỉ
#5
Đã gửi 07-02-2014 - 11:21
mà làm sao bt hàm f(x) có nhiệm là x2 mà đặt nhỉ
đặt là tự coi x khác 0 thì phải
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh