Đối với hầu hết chúng ta thì BĐT Becnuli còn khá xa lạ!
Nó không được biết đến rộng rãi như một số BĐT kinh điển khác nhưng cũng có các ứng dụng không hề nhỏ trong việc chứng minh BĐT mà nếu không dùng đến nó thì rất khó để làm theo cách khác
Bất đẳng thức Becnuli : $\left ( 1+h \right )^{n}\geq 1+nh$ với $h\geq -1$ và $n$ là số thực dương.
Chúng ta hãy đi tìm ứng dụng của BĐT trên qua một số ví dụ
VD1: Cho $a, b, n $ là các số dương. Chứng minh $\frac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{n}$
AD BĐT Becnuli ta có
$\left ( \frac{2x}{x+y} \right )^{n}=\left ( 1+\frac{x-y}{x+y} \right )^{n}\geq 1+n.\frac{x-y}{x+y}$
$\left ( \frac{2y}{x+y} \right )^{n}=\left ( 1-\frac{x-y}{x+y} \right )^{n}\geq 1-n.\frac{x-y}{x+y}$
Công tương ứng 2 vế của 2 BĐT trên ta được $\left ( \frac{2x}{x+y} \right )^{n}+\left ( \frac{2y}{x+y} \right )^{n}\geq 2$
Hay $\frac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{n }$ (đpcm)
Chúng ta sẽ xét ví dụ tiếp theo
VD2: Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$
Chứng minh $\sum \frac{x^{\sqrt{2010}}}{y+z}\geq \frac{3}{2}$
Ở đây ta thấy số mũ $\sqrt{2010}$ xuất hiện không phải là ngẫu nhiên và chúng ta hoàn toàn có thể thay $\sqrt{2010}=n$ dương
Ta đi chứng minh $\sum \frac{x^{n}}{y+z}\geq \frac{3}{2}$
Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có $\sum \left ( x\left ( y+z \right ) \right ).VT\geq \left ( \sum x^{\frac{1+n}{2}} \right )^{2}$
Do $\sum \left ( x\left ( y+z \right ) \right )=\sum xy$ nên ta cần chứng minh
$\left ( \sum x^{\frac{1+n}{2}} \right )^{2}$\geq 3\sum xy$
Nhưng do $\left ( \sum x \right )^{2}\geq 3\sum xy$ nên ta chỉ cần chứng minh $\sum x^{\frac{1+n}{2}}\geq \sum x$
Theo BĐT Becnuli ta có $x^{\frac{1+n}{2}}=\left ( 1+\left ( x-1 \right ) \right )^{\frac{1+n}{2}}\geq 1+\left ( x-1 \right ).\frac{1+n}{2}$
Xây dựng các BĐT tương tự ta có
$\sum x^{\frac{1+n}{2}}-\sum x=\sum \left ( x-1 \right ).\frac{n-1}{2}\geq \left ( \frac{n-1}{2} \right )\left ( 3\sqrt[3]{xyz} -3\right )=0$
Từ đó có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Thu Quoc: 06-11-2013 - 16:27