Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bất đẳng thức Becnuli


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 06-11-2013 - 16:26

Đối với hầu hết chúng ta thì BĐT Becnuli còn khá xa lạ! 

Nó không được biết đến rộng rãi như một số BĐT kinh điển khác nhưng cũng có các ứng dụng không hề nhỏ trong việc chứng minh BĐT mà nếu không dùng đến nó thì rất khó để làm theo cách khác

Bất đẳng thức Becnuli : $\left ( 1+h \right )^{n}\geq 1+nh$ với $h\geq -1$ và $n$ là số thực dương.

Chúng ta hãy đi tìm ứng dụng của BĐT trên qua một số ví dụ

 

VD1: Cho $a, b, n $ là các số dương. Chứng minh $\frac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{n}$

AD BĐT Becnuli ta có 

                           $\left ( \frac{2x}{x+y} \right )^{n}=\left ( 1+\frac{x-y}{x+y} \right )^{n}\geq 1+n.\frac{x-y}{x+y}$

                           $\left ( \frac{2y}{x+y} \right )^{n}=\left ( 1-\frac{x-y}{x+y} \right )^{n}\geq 1-n.\frac{x-y}{x+y}$

Công tương ứng 2 vế của 2 BĐT trên ta được $\left ( \frac{2x}{x+y} \right )^{n}+\left ( \frac{2y}{x+y} \right )^{n}\geq 2$

Hay $\frac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{n }$ (đpcm)

 

Chúng ta sẽ xét ví dụ tiếp theo

VD2: Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$

Chứng minh $\sum \frac{x^{\sqrt{2010}}}{y+z}\geq \frac{3}{2}$

 

Ở đây ta thấy số mũ $\sqrt{2010}$ xuất hiện không phải là ngẫu nhiên và chúng ta hoàn toàn có thể thay $\sqrt{2010}=n$ dương

Ta đi chứng minh $\sum \frac{x^{n}}{y+z}\geq \frac{3}{2}$

Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có $\sum \left ( x\left ( y+z \right ) \right ).VT\geq \left ( \sum x^{\frac{1+n}{2}} \right )^{2}$

Do $\sum \left ( x\left ( y+z \right ) \right )=\sum xy$ nên ta cần chứng minh 

                          $\left ( \sum x^{\frac{1+n}{2}} \right )^{2}$\geq 3\sum xy$

Nhưng do $\left ( \sum x \right )^{2}\geq 3\sum xy$ nên ta chỉ cần chứng minh $\sum x^{\frac{1+n}{2}}\geq \sum x$

Theo BĐT Becnuli ta có $x^{\frac{1+n}{2}}=\left ( 1+\left ( x-1 \right ) \right )^{\frac{1+n}{2}}\geq 1+\left ( x-1 \right ).\frac{1+n}{2}$

Xây dựng các BĐT tương tự ta có 

$\sum x^{\frac{1+n}{2}}-\sum x=\sum \left ( x-1 \right ).\frac{n-1}{2}\geq \left ( \frac{n-1}{2} \right )\left ( 3\sqrt[3]{xyz} -3\right )=0$

Từ đó có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Thu Quoc: 06-11-2013 - 16:27

Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 


#2 badatmath

badatmath

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Đông Hà-Quảng Trị

Đã gửi 06-11-2013 - 17:50

Bạn có thể cho mình xin luôn tập tài liệu được không ?


:icon12: Hãy xem những vấn đề trong cuộc sống như là một bài toán cực trị :Ta phải tìm được được một cách làm ngắn nhất sao cho tỉ lệ đạt được thành công là Max còn tỉ lệ thất bại là Min :icon12:


#3 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 06-11-2013 - 18:13

Bạn có thể cho mình xin luôn tập tài liệu được không ?

Một tập thì mình không có. Bạn có thể đọc thêm về BĐT này tại : http://vts.edu.vn/el..._book210408.pdf



#4 nguyenminhquanduongvexaxoi

nguyenminhquanduongvexaxoi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:toán học, yên tĩnh ,lắng đọng thử thách và khó khăn

Đã gửi 06-11-2013 - 18:49

ứng dụng bất đẳng thức trên để giải

20052008+ 20062008 > 20072008

từ bđt này stao ra vô số bđt khác


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenminhquanduongvexaxoi: 06-11-2013 - 18:52


#5 BurakkuYokuro11

BurakkuYokuro11

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT Chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Air Conditioner}$

Đã gửi 04-08-2019 - 22:46

 

Bất đẳng thức Becnuli : $\left ( 1+h \right )^{n}\geq 1+nh$ với $h\geq -1$ và $n$ là số thực dương.

 

 

Với $n$ là số thực dương không nhỏ hơn 1 hoặc là số thực không dương nhé. 

Trong trường hợp $0 < n< 1$ thì dấu của bất đẳng thức là dấu bé hơn nhé

Tham khảo: https://vi.wikipedia..._thức_Bernoulli


WangtaX

 


#6 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1344 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 05-08-2019 - 09:48

Ví dụ $\it{3}$

Cho $a, b, c$ là độ dài $3$ cạnh của một tam giác, chứng minh rằng $\sum\limits_{cyc}\frac{\sqrt{b+ c- a}}{\sqrt{b}+ \sqrt{c}- \sqrt{a}}\leqq 3$

Sử dụng phép thế R a v i với $\sqrt{b}+ \sqrt{c}- \sqrt{a}= x, \sqrt{c}+ \sqrt{a}- \sqrt{b}= y, \sqrt{a}+ \sqrt{b}- \sqrt{c}= z$, ta được

$$\therefore a= \left ( \frac{y+ z}{2} \right )^{2}, b= \left ( \frac{z+ x}{2} \right )^{2}, c= \left ( \frac{x+ y}{2} \right )^{2}\therefore \frac{\sqrt{b+ c- a}}{\sqrt{b}+ \sqrt{c}- \sqrt{a}}= \sqrt{\frac{zx+ x^{2}+ xy- yz}{2x^{2}}}$$

Sử dụng bất đẳng thức B e r n o u l l i với $constant= 0\,.\,5$, ta được

$$\sqrt{\frac{zx+ x^{2}+ xy- yz}{2x^{2}}}= \sqrt{1- \frac{(\!x- y\!)(\!x- z\!)}{2x^{2}}}\leqq 1- \frac{(\!x- y\!)(\!x- z\!)}{4x^{2}}$$

Sử dụng bất đẳng thức S c h u r với $constant= -\,2$, ta được $\sum\limits_{cyc}\frac{(\!x- y\!)(\!x- z\!)}{x^{2}}\geqq 0$ . !

 






3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh


    Google (1)