5)Tìm nghiệm nguyên:
$x^{3}-3y^{3}-9z^{3}$=0
Ta thấy $(x;y;z)=(0;0;0)$ là nghiệm của phương trình.
Giả sử phương trình đã cho có nghiệm nguyên khác $(0;0;0)$
Trong số các nghiệm đó , gọi $(x_{0},y_{0},z_{0})$ là nghiệm nguyên có $\left | x_{0} \right |+\left | y_{0} \right |+\left | z_{0} \right |=d$ nhỏ nhất
Rõ ràng $d> 0$
Từ đẳng thức $x_{0}^{3}=3(y_{0}^{3}+3z_{0}^{3})$, suy ra $x_{0}$ chia hết cho $3$
Đặt $x_{0}=3x_{1}$ , ta được
$27x_{1}^{3}=3(y_{0}^{3}+3z_{0}^{3})\Rightarrow y_{0}^{3}=3(3x_{1}^{3}-z_{0}^{3})$
Từ đây suy ra $y_{0}$ chia hết cho $3$. Đặt $y_{0}=3y_{1}$ , ta được
$27y_{1}^{3}=3(3x_{1}^{3}-z_{0}^{3})\Rightarrow z_{0}^{3}=3(x_{1}^{3}-3y_{1}^{3})$
Từ đẳng thức cuối cùng này ta suy ra $z_{0}$ chia hết cho $3$. Đặt $z_{0}=3z_{1}$, thay vào thì ta được
$x_{1}^{3}-3y_{1}^{3}-9z_{1}^{3}=0$
Tức là $x_{1},y_{1},z_{1}$ cũng là một nghiệm của phương trình đề bài
Nhưng $\left | x_{1} \right |+\left | y_{1} \right |+\left | z_{1} \right |=\frac{\left | x_{0} \right |+\left | y_{0} \right |+\left | z_{0} \right |}{3}=\frac{d}{3}$
Vì $0< \frac{d}{3}< d$ nên điều này mâu thuẫn với cách chọn $(x_{0},y_{0},z_{0})$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $(x,y,z)=(0,0,0)$