Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 hoangmanhquan

hoangmanhquan

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 641 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 06-11-2013 - 21:26

Cho các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ . Chứng minh rằng
$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$

 


:icon1: Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình :icon1: 

 

 


#2 hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 04-09-2015 - 15:29

 

Cho các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ . Chứng minh rằng
$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$

 

 Áp dụng AM-GM :

 $\sum \sqrt{\frac{ab+2c^{2}}{1+ab-c^{2}}}=\sum \sqrt{\frac{ab+2c^{2}}{a^2+ab+b^2}}=\sum \frac{ab+2c^2}{\sqrt{(ab+2c^2)(a^2+ab+b^2)}}$

 $\geq 2\sum \frac{ab+2c^2}{(a+b)^2+2c^2}\geq \sum \frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}=2\sum a^2+\sum ab=2+ab+bc+ca$



#3 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1382 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{THPT}$ $\textrm{ Chuyên Lương Văn Tụy}$ $\textrm{Ninh Bình}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 04-09-2015 - 16:57

 

Cho các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ . Chứng minh rằng
$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$

 

$\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{(ab+2c^2)(a^2+b^2+ab)}}\geq \frac{2(ab+2c^2)}{2ab+2c^2+a^2+b^2}\geq \frac{2(ab+2c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}= \frac{ab+2c^2}{1-c^2+c}=ab+2c^2$

CMTT:$\sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\geq bc+2a^2$

$\sqrt{\frac{ca+2b^2}{1+ac-b^2}}\geq ca+2b^2$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\geq 2(a^2+b^2+c^2)+\sum ab=2+\sum ab$



#4 HoangVienDuy

HoangVienDuy

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp , Quảng Bình
  • Sở thích:đi phượt

Đã gửi 23-03-2016 - 12:43

$\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{(ab+2c^2)(a^2+b^2+ab)}}\geq \frac{2(ab+2c^2)}{2ab+2c^2+a^2+b^2}\geq \frac{2(ab+2c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}= \frac{ab+2c^2}{1-c^2+c}=ab+2c^2$

CMTT:$\sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\geq bc+2a^2$

$\sqrt{\frac{ca+2b^2}{1+ac-b^2}}\geq ca+2b^2$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\geq 2(a^2+b^2+c^2)+\sum ab=2+\sum ab$

 Cậu copy y nguyên lời giải của bạn hoanglong2k mà ?


Có một người đi qua hoa cúc

Có hai người đi qua hoa cúc

Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...

FB:https://www.facebook.com/hoang.vienduy





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh