Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{1+a}{1+a^2} \leq \frac{3}{4}(3+\sqrt{3})$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
nguyenqn1998

nguyenqn1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết

cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c \in (0,1) & & \\ ab+bc+ca+a+b+c=1+abc& & \end{matrix}\right.$

CMR:$\frac{1+a}{1+a^2}+\frac{1+b}{1+b^2}+\frac{1+c}{1+c^2} \leq \frac{3}{4}(3+\sqrt{3})$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenqn1998: 12-11-2013 - 19:19


#2
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c \in (0,1) & & \\ ab+bc+ca+a+b+c=1+abc& & \end{matrix}\right.$

CMR:$\frac{1+a}{1+a^2}+\frac{1+b}{1+b^2}+\frac{1+c}{1+c^2} \leq \frac{3}{4}(3+\sqrt{3})$

Tham khảo báo THTT Số 426 trang 21 bài T7/422 bạn nhé ^^



#3
tienthcsln

tienthcsln

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Mình thử nêu hướng giải không biết có thực hiên được không :D

Từ gt suy ra: $a= \frac{1-b-c-bc}{b+c-bc-1}\Rightarrow \frac{a+1}{a^{2}+1}= \frac{\left ( 1-bc \right )\left ( 1-bc+b+c \right )}{\left ( 1+b^{2}\right) \left ( 1+c^{2} \right )}$

Thay vào ta có:

  $VT= 1+\frac{2\left ( b+c+1-bc \right )}{\left ( 1+b^{2} \right )\left ( 1+c^{2} \right )}$

Do đó chỉ cần chứng minh:

   $\frac{ b+c+1-bc }{\left ( 1+b^{2} \right )\left ( 1+c^{2} \right )}\leq \frac{5+3\sqrt{3}}{8}$ (*)

Xét $f(b)=k\left ( c^{2}+1 \right )b^{2}-8\left ( 1-c \right )b+k\left ( c^{2}+1 \right )-8\left ( c+1 \right )$ với $k=5+3\sqrt{3}$; $b,c\in \left ( 0;1 \right )$

Vì (*) $\Leftrightarrow f(b)\geq 0$ với mọi $b\in \left ( 0;1 \right )$ mà $0< \frac{4\left ( 1-c \right )}{k\left ( c^{2}+1 \right )}< 1$ nên từ bảng biến thiên của $f(b)$ trên $\left ( 0;1 \right )$ ta thấy:

(*) $\Leftrightarrow \frac{-\Delta }{4k\left ( c^{2} +1\right )}\geq 0\Leftrightarrow \Delta' \leq 0$ 

$\Leftrightarrow k^{2}c^{4}-8kc^{3}+2\left ( k^{2}-4k-8 \right )c^{2}-8\left ( k-4 \right )c+k^{2}-8k-16\geq 0$

$\Leftrightarrow \left ( c+\frac{k-11}{3} \right )^{2}M\geq 0$ với $M> 0$, luôn đúng. Vậy ta có đpcm.

 

Dấu "=" xảy ra khi  $a= b= c= \frac{11-k}{3}= 2-\sqrt{3}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh