Mình thử nêu hướng giải không biết có thực hiên được không
Từ gt suy ra: $a= \frac{1-b-c-bc}{b+c-bc-1}\Rightarrow \frac{a+1}{a^{2}+1}= \frac{\left ( 1-bc \right )\left ( 1-bc+b+c \right )}{\left ( 1+b^{2}\right) \left ( 1+c^{2} \right )}$
Thay vào ta có:
$VT= 1+\frac{2\left ( b+c+1-bc \right )}{\left ( 1+b^{2} \right )\left ( 1+c^{2} \right )}$
Do đó chỉ cần chứng minh:
$\frac{ b+c+1-bc }{\left ( 1+b^{2} \right )\left ( 1+c^{2} \right )}\leq \frac{5+3\sqrt{3}}{8}$ (*)
Xét $f(b)=k\left ( c^{2}+1 \right )b^{2}-8\left ( 1-c \right )b+k\left ( c^{2}+1 \right )-8\left ( c+1 \right )$ với $k=5+3\sqrt{3}$; $b,c\in \left ( 0;1 \right )$
Vì (*) $\Leftrightarrow f(b)\geq 0$ với mọi $b\in \left ( 0;1 \right )$ mà $0< \frac{4\left ( 1-c \right )}{k\left ( c^{2}+1 \right )}< 1$ nên từ bảng biến thiên của $f(b)$ trên $\left ( 0;1 \right )$ ta thấy:
(*) $\Leftrightarrow \frac{-\Delta }{4k\left ( c^{2} +1\right )}\geq 0\Leftrightarrow \Delta' \leq 0$
$\Leftrightarrow k^{2}c^{4}-8kc^{3}+2\left ( k^{2}-4k-8 \right )c^{2}-8\left ( k-4 \right )c+k^{2}-8k-16\geq 0$
$\Leftrightarrow \left ( c+\frac{k-11}{3} \right )^{2}M\geq 0$ với $M> 0$, luôn đúng. Vậy ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a= b= c= \frac{11-k}{3}= 2-\sqrt{3}$