Chủ đề này có 1 trả lời

[VNSTaipro]

Cho $a,b,c$ dương thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh

$\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VNSTaipro: 07-11-2013 - 20:55

[Sagittarius912]

Cho $a,b,c$ dương thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh

$\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$

 

$\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$

 

 $\Leftrightarrow \sum (\frac{1}{2}-\frac{1}{a^2+b^2+2})\ge \frac{3}{2}$

 

 $\Leftrightarrow \sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\ge \frac{3}{2}$

Theo Cauchy-Schwarz ta có:

 

$\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\ge \frac{[\sum\sqrt{a^2+b^2}]^2}{\sum(a^2+b^2+2)}=\frac{2\sum a^2+2\sum{\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}}}{2\sum a^2 +6}$

 

Do đó ta cần chứng minh

 

$2\sum a^2+2\sum{\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}}\ge 3(\sum a^2 +3)$

 

$\Leftrightarrow 2\sum{\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}}\ge \sum a^2 + 9$

Theo Cauchy-Schwarz:

 

$2\sum{\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}}\ge 2\sum(ac+b^2)=\sum a^2 +(a+b+c)^2=\sum a^2+9$

 

Vậy ta có đpcm

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$