giải các hệ phương trình sau
B1,
$\left\{\begin{matrix} x^{2}(y+z)^{2}=(3x^{2}+x+1)y^{2}z^{2}\\ y^{2}(z+x)^{2}=(4y^{2}+y+1)z^{2}x^{2} \\ z^{2}(x+y)^{2}=(5z^{2}+z+1)x^{2}y^{2} \end{matrix}\right.$
B2,
$\left\{\begin{matrix} 2x+x^{2}y=y\\ 2y+y^{2}z=z \\ 2z+z^{2}x=x \end{matrix}\right.$
B2)
Nhận thấy hệ không có các nghiệm $(\pm1,y,z); (x,\pm1,z);(x,y,\pm1)$
Với $x,y,z \neq \pm 1$, viết lại hệ dưới dạng:
$\left\{\begin{matrix} y= \frac{2x}{1-x^2} \\ z= \frac{2y}{1-y^2} \\ x=\frac{2z}{1-z^2} \end{matrix} \right.$
Với điều kiện đó đặt $x=\tan \alpha \: (1), \alpha \in(\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2})$ , với $\tan \alpha, \tan 2\alpha, \tan 4\alpha \neq \pm1$
Với $x=\tan \alpha \Rightarrow y= \dfrac{2 \tan \alpha}{1- \tan^2 \alpha}= \tan 2\alpha$
Với $y= \tan 2\alpha \Rightarrow z= \dfrac{2 \tan 2\alpha}{1- \tan^2 2\alpha}= \tan 4\alpha$
Với $z=\tan 4\alpha \Rightarrow x= \dfrac{2 \tan 4\alpha}{1- \tan^2 4\alpha}= \tan 8\alpha (2)$
Từ (1) và (2) $\rightarrow \tan \alpha =\tan 8\alpha \Leftrightarrow \alpha= k \frac{\pi}{7}, k \in \mathbb{Z}$
Vì $\alpha \in (\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2} ) \Rightarrow \frac{-\pi}{2} <k \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$
mà $k \in \mathbb{Z} \rightarrow k=\{ 0;\pm1;\pm2;\pm3 \}$
Nên: $x=\tan k\frac{\pi}{7} ; y= \tan k \frac{2\pi}{7} ; z= \tan k \frac{4\pi}{7} $
với $ k=\{ 0;\pm1;\pm2;\pm3 \}$ $\square$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GSXoan: 10-11-2013 - 10:24