3 replies to this topic

[minh8x]

Cho a,b,c dương. Chứng minh $\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$

 

Mod nào sửa tiêu đề giúp em với ạ, dài quá nên ko hiển thị hết đc công thức

Thanks!!!

Edited by minh8x, 08-11-2013 - 11:11.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Ta có:
$\sqrt{\dfrac{2a}{a + b}} + \sqrt{\dfrac{2b}{b + c}} + \sqrt{\dfrac{2c}{c + a}}$

$= \dfrac{a^2}{\sqrt{\dfrac{a^3(a + b)}{2}}} + \dfrac{b^2}{\sqrt{\dfrac{b^3(b + c)}{2}}} + \dfrac{c^2}{\sqrt{\dfrac{c^3(c + a)}{2}}} \geq \dfrac{(a + b + c)^2}{\sqrt{\dfrac{a^3(a + b)}{2}} + \sqrt{\dfrac{b^3(b + c)}{2}} + \sqrt{\dfrac{c^3(c + a)}{2}}}$

Ta sẽ chứng minh:
$\sqrt{\dfrac{a^3(a + b)}{2}} + \sqrt{\dfrac{b^3(b + c)}{2}} + \sqrt{\dfrac{c^3(c + a)}{2}} \leq a^2 + b^2 + c^2 \, (1)$

Thật vậy:
$\sqrt{\dfrac{a^3(a + b)}{2}} = \sqrt{\dfrac{a^2(a^2 + ab)}{2}} \leq \dfrac{3a^2 + ab}{4}$

Từ đó suy ra:
$VT_{(1)} \leq \dfrac{3(a^2 + b^2 + c^2) + ab + ac + bc}{4} \leq a^2 + b^2 + c^2$

Do đó, ta có điều phải chứng minh.

 

 

[Yagami Raito]

 

Giải

 

$\sqrt{\dfrac{a^3(a + b)}{2}} = \sqrt{\dfrac{a^2(a^2 + ab)}{2}} \leq \dfrac{3a^2 + ab}{4}$

 

 

Em không hiểu đoạn này lắm anh giải thích hộ em cái !

[Phuong Thu Quoc]

Em không hiểu đoạn này lắm anh giải thích hộ em cái !

$\sqrt{\frac{a^{2}\left ( a^{2}+ab \right )}{2}}=2.\sqrt{\frac{a^{2}}{2}.\frac{\left ( a^{2} +ab\right )}{4}}\leq \frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}+ab}{4}=\frac{3a^{2}+ab}{4}$ (theo AM-GM )