Cho ba số thực dương thoả mãn $\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}=2013$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\cfrac{1}{2x+y+z}+\cfrac{1}{x+2y+z}+\cfrac{1}{x+y+2z}$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\cfrac{1}{2x+y+z}+\cfrac{1}{x+2y+z}+\cfrac{1}{x+y+2z}$
#1
Đã gửi 08-11-2013 - 22:00
#2
Đã gửi 08-11-2013 - 22:09
Ta có:
$\large 16P=\sum \frac{16}{x+x+y+z}\leq \sum \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=4\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=8052$
$\large \Rightarrow P\leq \frac{2013}{4}$
Dấu bằng xảy ra khi$\large x=y=z=\frac{1}{671}$
#3
Đã gửi 08-11-2013 - 22:12
Cho ba số thực dương thoả mãn $\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}=2013$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\cfrac{1}{2x+y+z}+\cfrac{1}{x+2y+z}+\cfrac{1}{x+y+2z}$
Bài này sẽ vận dung bất đẳng thức CBS dạng Engel hay còn gọi là C-S và Schwarz
Áp dụng bất đẳng thức C-S ngược ta có:
$\frac{16}{2x+y+z}\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}$
Chứng minh tương tự và cộng lại ta có
$\sum \frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{4}{16}.(\sum \frac{1}{x})=\frac{2013}{4}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $x=z=y=\frac{1}{671}$
Like mạnh
Ủa ghi nhầm tý để fix
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 08-11-2013 - 22:15
- pdtienArsFC, Rias Gremory và Viet Hoang 99 thích
#4
Đã gửi 08-11-2013 - 22:28
#5
Đã gửi 09-11-2013 - 15:15
Ta có:
$\large 16P=\sum \frac{16}{x+x+y+z}\leq \sum \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=4\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=8052$
$\large \Rightarrow P\leq \frac{2013}{4}$
Dấu bằng xảy ra khi$\large x=y=z=\frac{1}{671}$
Ta có BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ với $x,y> 0$
Suy ra $\frac{1}{2a+b+c}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c})$
Chứng minh tương tự ta có :
$\frac{1}{a+2b+c}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
$\frac{1}{a+b+2c}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
$\Rightarrow P\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{2013}{4}$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh