Chủ đề này có 1 trả lời

[kfcchicken98]

Cho a,b,c là các số không âm, chứng minh

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{8}{a+b+c}\geq \frac{6}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

[Sagittarius912]

Cho a,b,c là các số không âm, chứng minh

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{8}{a+b+c}\geq \frac{6}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

Ta sẽ chứng minh 

 $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge \frac{1}{a+b+c}+\frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$ (*)

  

$\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge \frac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$(1)

 

(1) đúng do $a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca) \ge 0$

và 

$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\le (a+b+c)(ab+bc+ca)$

Áp dụng (*) :

 

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{8}{a+b+c}\ge \frac{9}{a+b+c}+\frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$

 

Theo AM-GM:

 

$\frac{9}{a+b+c}+\frac{a+b+c}{ab+bc+ca}\ge 2\sqrt{\frac{9}{a+b+c}.\frac{a+b+c}{ab+bc+ca}}=\frac{6}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

 

$\Rightarrow$ đpcm

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi $(a;b;c)$ là hoán vị của $(0;\frac{7-\sqrt{45}}{2}.t;t)$ hoặc  $(0;\frac{7+\sqrt{45}}{2}.t;t)$;$t>0, t\in \mathbb{R}$